Съдържание

Условие Решение

ВсОШ 2022, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 9-3. Ап стену

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2022

LV Всероссийская олимпиада школьников по физике · Заключительный этап · Теоретический тур

Обложка оригинала

Министерство просвещения Российской Федерации

Центральная предметно-методическая комиссия Всероссийской олимпиады школьников по физике

LV Всероссийская олимпиада школьников по физике

Заключительный этап

Теоретический тур

Сириус, 2022 г.

Вариант оригинала

9 класс

Следующий вариант

10 класс

Следующий вариант

11 класс

Раздел оригинала

Возможные решения

Условие

На гладкой горизонтальной поверхности на расстоянии $s$ от стены покоится шайба массой $m$ . На нее налетает вторая такая же шайба, движущаяся перпендикулярно стене со скоростью $u$ (рис. 3, вид сверху). Известно, что удары шайб о стену упругие, а при центральном столкновении самих шайб рассеивается доля $\alpha$ $(0<\alpha<1)$ их суммарной кинетической энергии в системе отсчета их центра масс. Постройте качественный график зависимости расстояния $l$ между первой шайбой и стеной от времени $t$ , отсчитываемого от момента первого столкновения шайб. Отметьте на нем характерные точки.

Рис. 3. Вид сверху: обе шайбы 1/2, массы m, скорость u, расстояние s и стенка.

Решение

В решении идет речь о проекциях скоростей на ось $x$ , направленную к стене.

Первое столкновение шайб:

Скорость центра масс: $u_{\text{ц.м.}}=u/2$ , а проекции скоростей шайб в системе отсчета центра масс (СЦМ) равны $u/2$ и $-u/2$ . Запишем энергии системы после столкновения в СЦМ, $v$ — скорости после соударения:

mu^2\cdot(1-\alpha)=mv^2,\quad v=\sqrt{1-\alpha}\cdot u/2

Обозначим: $\beta=\sqrt{1-\alpha}$ . Возвращаясь в лабораторную СО, получим: $u_2=-\beta u/2+u/2=(1-\beta)u/2$ , $u_1=\beta u/2+u/2=(1+\beta)u/2$ . После удара, первая шайба будет двигаться в сторону стенки, упруго от неё отразится и полетит обратно со скоростью $-u_1=-(1+\beta)u/2$ .

Второе столкновение шайб:

Первая движется со скоростью $-(1+\beta)u/2$ , а вторая ей навстречу с $(1-\beta)u/2$ . Скорость центра масс

u_{\text{ц.м.}}=\frac{(1-\beta)u/2-(1+\beta)u/2}2=-\beta u/2

, а скорости шайб в СЦМ: $-u/2$ и $u/2$ . После удара доля $\alpha$ энергии рассеивается и скорости в СЦМ становятся равными $\beta u/2$ и $-\beta u/2$ . Возвращаясь в лабораторную СО, получим, что скорость второй шайбы станет равна $u_2=-\beta u/2-\beta u/2=-\beta u$ , а первой $u_1=\beta u/2-\beta u/2=0$ , следовательно первая шайба остановится.

Три этапа для первой шайбы:

движение к стене со скоростью $(1+\beta)u/2$
движение от стены со скоростью $(1+\beta)u/2$
покой на расстоянии $s_1$ от стены

Найдем времена движения на двух первых участках: Время от первого соударения, до удара о стену:

t_1=\frac s{(1+\beta)u/2}=\frac{2s}{(1+\beta)u}.

За это время вторая шайба проходит расстояние:

s_2=u_2\cdot t_1=(1-\beta)\frac u2\cdot\frac{2s}{(1+\beta)u}=\frac{(1-\beta)s}{1+\beta},

и, следовательно, расстояние от второй шайбы до стенки, или расстояние между шайбами после удара первой шайбы о стенку, равно:

s-\frac{(1-\beta)s}{1+\beta}=\frac{2\beta}{1+\beta}s

Шайбы сближаются со скоростью $(1+\beta)u/2+(1-\beta)u/2=u$ . Второе столкновение происходит через:

t_2=\frac{2\beta}{1+\beta}\frac s u,\quad t_1+t_2=\frac{2s}u

К этому результату можно прийти проще: По ЗСИ $mu_{\text{л}}+mv_{\text{п}}=mu\to u=u_1+v_2$ . Тогда суммарное перемещение двух шайб между ударами $2s=u_{\text{л}}t+v_{\text{п}}t=ut$ , и $t=\frac{2s}u$ . Первая шайба удалится от стены на расстояние:

s_1=\frac{2\beta}{1+\beta}\frac s u\cdot\frac{1+\beta}2u=\beta s=s\sqrt{1-\alpha}

Там она и остановится.

График $l(t)$ имеет вид:

Полный график l(t) после обоих соударений и остановки, все характерные значения и времена.

Оригинал в Архива: Ru22-T.pdf