Съдържание

Условие Решение

ВсОШ 2022, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 9-4. Ледяная картина

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2022

LV Всероссийская олимпиада школьников по физике · Заключительный этап · Теоретический тур

Обложка оригинала

Министерство просвещения Российской Федерации

Центральная предметно-методическая комиссия Всероссийской олимпиады школьников по физике

LV Всероссийская олимпиада школьников по физике

Заключительный этап

Теоретический тур

Сириус, 2022 г.

Вариант оригинала

9 класс

Следующий вариант

10 класс

Следующий вариант

11 класс

Раздел оригинала

Возможные решения

Условие

После добавления в сосуд с водой некоторого количество льда в нем устанавливается тепловое равновесие. На рисунке 4 приведена диаграмма, на которой выделены области с указанием конечного состояния содержимого сосуда в зависимости от температуры $t_{\text{л}}$ и массы $m_{\text{л}}$ добавленного льда.

Рис. 4. Полная диаграмма состояний воды и льда, обе границы, координатная сетка и шкалы tл и 1/mл.

1. Какая температура установится в сосуде, если в него добавить 0,5 кг льда при температуре $-10\,{}^\circ\text{C}$ ?

2. Определите начальную температуру $t$ и массу $m$ воды в сосуде.

Тепловыми потерями и теплоемкостью сосуда можно пренебречь. Содержимое из сосуда не выливается. Удельная теплота плавления льда $\lambda=330$ кДж/кг, удельная теплоемкость льда $c_{\text{л}}=2100$ Дж/(кг $\cdot\,{}^\circ$ C), удельная теплоемкость воды $c=4200$ Дж/(кг $\cdot\,{}^\circ$ C).

Решение

Ответ на первый вопрос задачи можно найти сразу с помощью диаграммы состояний. Для 0,5 кг льда $1/m_{\text{л}}=2$ кг $^{-1}$ . Точка соответствующая такой массе и температуре $-10\,{}^\circ$ C попадает в область между зонами льда и воды, а значит соответствует смеси, находящейся в равновесном состоянии при температуре $0\,{}^\circ$ C.

Чтобы найти начальную массу и температуру воды запишем уравнения теплового баланса для геометрического множества точек границ зон льда и воды.

Все точки правой границы зоны льда соответствуют конечному состоянию, в котором все содержимое сосуда окажется в виде льда при $0\,{}^\circ$ C.

m_{\text{л}}c_{\text{л}}(0-t_{\text{л}})=mc(t-0)+m\lambda,

откуда

t_{\text{л}}=-\frac{m(ct+\lambda)}{c_{\text{л}}}\cdot\frac1{m_{\text{л}}}

Коэффициент наклона $\frac{m(ct+\lambda)}{c_{\text{л}}}$ находим из графика. Он равен $k_1=55\,{}^\circ$ C $\cdot$ кг.

Все точки левой границы зоны воды соответствуют конечному состоянию, в котором все содержимое сосуда окажется в виде воды при $0\,{}^\circ$ C.

m_{\text{л}}c_{\text{л}}(0-t_{\text{л}})+m_{\text{л}}\lambda=mc(t-0),

откуда

t_{\text{л}}=\frac\lambda{c_{\text{л}}}-\frac{mct}{c_{\text{л}}}\cdot\frac1{m_{\text{л}}}

Коэффициент наклона $\frac{mct}{c_{\text{л}}}$ находим из графика. Он равен $k_2=29\,{}^\circ$ C $\cdot$ кг.

Остается решить систему уравнений:

\begin{cases}\frac{m(ct+\lambda)}{c_{\text{л}}}=k_1,\\[4pt]\frac{mct}{c_{\text{л}}}=k_2\end{cases}

Разделим верхнее уравнение на нижнее $1+\frac\lambda{ct}=\frac{k_1}{k_2}$ и найдём:

$t=88\,{}^\circ$ C

Массу воды можно найти, подставив найденную температуру, например, во второе уравнение системы.

m=\frac{c_{\text{л}}k_2}{ct}=165\text{ г}

Учитывая, что исходные данные взяты из графика, допускаются отклонения от авторских значений для температуры в диапазоне от $84\,{}^\circ$ C до $92\,{}^\circ$ C, а для массы от 160 г до 170 г.

Альтернативное решение «по двум точкам»:

На правой прямой при температуре льда равной нулю остывание воды до нуля полностью плавит лед: $m_{\text{л}2}\lambda=mct$ , где $m_{\text{л}2}=1/5{,}4$ кг. На левой прямой лед, нагреваясь до нуля, охлаждает воду до нуля и кристаллизует ее. Берем любую точку на этой прямой, например $m_{\text{л}1}=1/0{,}4$ кг и $t_{\text{л}1}=-22\,{}^\circ$ C, уравнение имеет вид:

m_{\text{л}1}c_{\text{л}}t_{\text{л}1}=mct+m\lambda

Вычитая из второго уравнения первое получаем:

m=0{,}165\text{ кг}

t=88\,{}^\circ\text{C}

Оригинал в Архива: Ru22-T.pdf