ВсОШ 2022, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 9-5. Электроцикл

Стрелки процессов указывают на то, что от состояния 1 до состояния 3 сила тока увеличивается, а затем уменьшается до начального значения. По условию это происходит с постоянной по модулю скоростью.

Из графика следует, что на участках $1-2$ и $3-4$ токи текут только через резисторы. Действительно, если на участке $1-2$ был бы открыт один из диодов, то при изменении силы тока $I$ показания вольтметра совпадали бы с напряжением открытия диода и не изменялись.

При напряжениях 4 В и 8 В диоды открываются и сила тока на участках $4-1$ и $2-3$ изменяется при неизменных показаниях вольтметра. Следовательно,

Сопротивления фрагмента на участках $1-2$ и $3-4$ отличаются, что следует из различных коэффициентов наклона участков диаграммы, причем $R_{34}<R_{12}$. Откуда

Заметим, что сила тока через резистор $R_1$ на всем участке $2-3$ не изменяется, а увеличение общего тока компенсируется увеличением тока через диод $D_2$.

Так же заметим, что ключ $K_2$ до завершения участка $2-3$ замыкаться не мог, так как при неизменном общем токе это привело бы к мгновенному уменьшению сопротивления фрагмента и напряжения на нем. Диод сразу бы закрылся, и система перешла бы в состояние, соответствующее такому же току на участке $3-4$.

Аналогичные рассуждения приводят к выводу, что на участке $4-1$ ток также идет только через резистор $R_1$. Если в т.4 не разомкнуть ключ $K_2$, отключив резистор $R_2$, дальнейшее уменьшение общего тока приведет к закрытию диода и переходу системы в состояние, находящееся на продолжении процесса $3-4$.

Обозначим силу тока в т.1 за $I_0$. Тогда количество теплоты $Q_{23}$, выделившееся на резисторе $R_1$ на участке $2-3$, может быть найдено по формуле $Q_{23}=2I_0U_2t_{23}$. С другой стороны, за время $t_{23}$ сила тока возросла с $2I_0$ до $6I_0$. Поэтому $4I_0=kt_{23}$.

Решая систему, получим:

За цикл сила тока в цепи увеличивалась от $I_0$ до $6I_0$, а затем уменьшалась на такую же величину. Длительность одного цикла равна

В т.4 замыкается ключ $K_1$ и одновременно размыкается ключ $K_2$, в результате чего через $D_1$ сразу идет ток $2I_0$, который постепенно уменьшается до нуля (в состоянии 1). Через резистор $R_1$ на всем процессе $4-1$ идет постоянный ток $I_0$.

Аналогично тому как было найдено $Q_{23}$, найдем и $Q_{41}$. $Q_{41}=I_0U_1t_{41}$, где $t_{41}=2I_0/k=20$ с.

Сопротивления $R_{34}$ и $R_{12}$ можно рассчитать через коэффициенты наклона соответствующих прямых: $R_1=400$ Ом, $\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}=133$ Ом, откуда $R_2=200$ Ом.

Можно предложить такую последовательность действий, приводящую к заданному виду цикла.

$1-2$: Ключи разомкнуты. Ток течет только через $R_1$. Второй диод закрыт. $2-3$: Открывается диод. Ток идет через $R_1$ и второй диод. $3-4$: Замыкают второй ключ. Диод закрывается. Силу тока начинают уменьшать. $4-1$: Когда напряжение в цепи уменьшилось до 4 В, замыкают первый ключ и одновременно размыкают второй ключ. Первый диод открывается. В конце участка первый ключ опять размыкают.