Съдържание

ВсОШ 2022, Регионален етап, 10. клас — Задача 1. «Серый ящик»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2022

LVI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Экспериментальный тур. 24 января 2022 г. 10класс · 24 януари 2022 г.

Условие

Задание 10.1. «Серый ящик». «Серый» ящик с тремя выводами содержит источник постоянного напряжения $\mathcal{E}$ и два резистора. Указанные элементы соединены по одной из двух возможных схем, представленных на рис. 1. На крышке ящика выводы «1», «2» и «3» в произвольном порядке помечены буквами «А», «В» и «С» (см. фото.).

Две схемы соединения элементов в круглых пунктирных рамках: слева «Звезда» — источник ℰ между выводом 1 и общей точкой, от неё резисторы r к выводу 2 и R к выводу 3; справа «Треугольник» — резистор r между 1 и 2, резистор R между 2 и 3, источник ℰ между 1 и 3. Между схемами слово «или». — Рис. 1.

Фотография чёрного «серого ящика» с тремя винтовыми выводами, помеченными оранжевыми наклейками «A», «B», «C» и номером «36». — Фото.

1. Установите, по какой из двух возможных схем («звезда» или «треугольник») соединены элементы.

2. Установите соответствие между точками «1», «2» и «3» и выводами «А», «В» и «С», считая, что $r < R$ .

3. Определите значение напряжения $\mathcal{E}$ и сопротивления $r$ и $R$ .

4. Погрешность оценивать не нужно.

Внутреннее сопротивление источника напряжения, находящегося в «сером ящике», пренебрежимо мало по сравнению с $r$ и $R$ .

Оборудование. «Серый» ящик с тремя выводами, мультиметр с двумя щупами.

Внимание! В начале своего решения обязательно укажите номер выданного вам «серого» ящика (на фото это № 36).

Внутреннее сопротивление мультиметра в режиме вольтметра может существенно отличаться от стандартного.

Запрещается закорачивать выводы ящика (например, с помощью проводов мультиметра, его щупа и т.д.).

Отговори

Решение

Э-10.1. Возможное решение. Внимание! Все значения приведены по авторской установке.

Измерим напряжение между выводами А и В, А и С, В и С:

U_{AB} = 0{,}00\ \mathrm{В},\ U_{AC} = 12{,}7\ \mathrm{В},\ U_{BC} = 6{,}82\ \mathrm{В}.

Пусть в ящике элементы соединены «треугольником». Тогда между выводами А и В должен быть резистор практически нулевого сопротивления. Однако, в таком случае, остальные два напряжения должны совпадать (или быть очень близкими), что не наблюдается. Значит, в ящике элементы соединены «звездой».

По тем же измерениям установим соответствие между выводами. Так как напряжение между выводами А и В равно нулю, источник подключён к выводу С (то есть С→1). Напряжение между выводами А и С больше, следовательно, резистор, подключённый к выводу А, имеет меньшее сопротивление (то есть А→2). Соответственно, В→3.
Различие между полученными значениями напряжения ( $U_{AC} \neq U_{BC}$ ) показывает, что внутренним сопротивлением вольтметра пренебречь нельзя!

Кроме того, омметр, даже в режиме 2 МОм, подключённый к выводам А и В (2 и 3), зашкаливает, что говорит о том, что $r + R > 2$ МОм.

Вариант 1. У мультиметра минимальный предел измерения 200 μА (серия 830).

Переведём мультиметр в режим микроамперметра (предел 200 μА) и измерим силу тока между всеми парами выводов. Получаем значения:

I_{AB} = 0,\ I_{AC} = 37{,}7\ \mathrm{мкА},\ I_{BC} = 10{,}6\ \mathrm{мкА}.

Пусть $R_V$ – сопротивление прибора в режиме вольтметра. Тогда

U_{AC} = \frac{\mathcal{E}R_V}{R_V + r},\quad U_{BC} = \frac{\mathcal{E}R_V}{R_V + R}.

С другой стороны, $\mathcal{E} = I_{AC} r = I_{BC} R$ .
Отсюда получаем, что

\frac{R}{r} = \frac{I_{AC}}{I_{BC}} = \frac{37{,}7}{10{,}6} = 3{,}56.

\frac{R_V + R}{R_V + r} = \frac{U_{AC}}{U_{BC}} = \frac{12{,}7}{6{,}82} = 1{,}86 \ \Rightarrow\ R_V + 3{,}56 r = 1{,}86 R_V + 1{,}86 r

\Rightarrow\ r = 0{,}52 R_V.

Подставим найденное значение:

U_{AC} = \frac{\mathcal{E}}{1 + 0{,}52} \ \Rightarrow\ \mathcal{E} = 1{,}52 U_{AC} = 1{,}52 \cdot 12{,}7\ \mathrm{В} = 19{,}3\ \mathrm{В}.

r = \frac{\mathcal{E}}{I_{AC}} = \frac{19{,}3\ \mathrm{В}}{37{,}7\ \mathrm{мкА}} = 511\ \mathrm{кОм},\qquad R = \frac{\mathcal{E}}{I_{BC}} = \frac{19{,}3\ \mathrm{В}}{10{,}6\ \mathrm{мкА}} = 1{,}82\ \mathrm{МОм}.

Вариант 2. У мультиметра минимальный предел измерения 2000 μА (серия 832, 838).

Переведём мультиметр в режим микроамперметра (предел 2000 μА) и измерим ток между всеми парами выводов. Получаем значения:

I_{AB} = 0,\ I_{AC} = 38\ \mathrm{мкА},\ I_{BC} = 11\ \mathrm{мкА}.

Пусть $R_V$ – сопротивление прибора в режиме вольтметра. Тогда

U_{AC} = \frac{\mathcal{E}R_V}{R_V + r},\quad U_{BC} = \frac{\mathcal{E}R_V}{R_V + R}.

С другой стороны, $\mathcal{E} = I_{AC} r = I_{BC} R$ .
Отсюда получаем, что

\frac{R}{r} = \frac{I_{AC}}{I_{BC}} = \frac{38}{11} = 3{,}45.

\frac{R_V + R}{R_V + r} = \frac{U_{AC}}{U_{BC}} = \frac{12{,}73}{6{,}82} = 1{,}87 \ \Rightarrow\ R_V + 3{,}45 r = 1{,}87 R_V + 1{,}87 r

\Rightarrow\ r = 0{,}55 R_V.

Подставим найденное значение:

U_{AC} = \frac{\mathcal{E}}{1 + 0{,}55} \ \Rightarrow\ \mathcal{E} = 1{,}55 U_{AC} = 1{,}55 \cdot 12{,}73\ \mathrm{В} = 19{,}7\ \mathrm{В}.

r = \frac{\mathcal{E}}{I_{AC}} = \frac{19{,}7\ \mathrm{В}}{38\ \mathrm{мкА}} = 520\ \mathrm{кОм},\qquad R = \frac{\mathcal{E}}{I_{BC}} = \frac{19{,}7\ \mathrm{В}}{11\ \mathrm{мкА}} = 1{,}8\ \mathrm{МОм}.

Примечание: значения, измеренные напрямую в авторской установке:

\mathcal{E} = 19{,}20\ \mathrm{В},\qquad r = 507\ \mathrm{кОм},\qquad R = 1{,}81\ \mathrm{МОм}.

Общие формулы (их вывод от участников олимпиады не требуется):

\mathcal{E} = \frac{U_{AC}U_{BC}(I_{AC} - I_{BC})}{I_{AC}U_{BC} - I_{BC}U_{AC}},\quad r = \frac{U_{AC}U_{BC}(I_{AC} - I_{BC})}{I_{AC}\cdot(I_{AC}U_{BC} - I_{BC}U_{AC})},\quad R = \frac{U_{AC}U_{BC}(I_{AC} - I_{BC})}{I_{BC}\cdot(I_{AC}U_{BC} - I_{BC}U_{AC})}.

Оригинал в Архива: Ru22-R-10-E1_Sery_Yaschik_S_Bolshimi_Soprotivleniami.pdf