Съдържание

ВсОШ 2022, Регионален етап, 10. клас — Задача 5. Суммарная мощность

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2022

LVI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Теоретический тур. 22 января 2022 г. 10класс

Условие

В цепи, изображённой на рисунке 1, суммарная мощность, выделяющаяся на резисторах, равна 7 Вт. Определите суммарную мощность, выделяющуюся на резисторах в цепи, изображённой на рисунке 2.

Характеристики всех элементов цепей не заданы, но элементы, обозначенные на схемах одинаково, имеют одинаковые характеристики. Источники можно считать идеальными.

Контур из резистора $R$ (сверху), резистора $r$ и источника $U_0$ (снизу), соединённых последовательно. — Рис. 1

Схема: верхняя ветвь из резисторов $R$ и $R_2$; из узла между ними вниз идёт источник $U_0$ и резистор $r$ к узлу между резисторами $R_1$ и $R$ средней ветви; нижняя ветвь — резистор $r$ и источник $U_0$; боковые провода соединяют ветви. — Рис. 2

Отговори

Решение

10.5. Возможное решение. Вариант №1. Общая мощность, выделяющаяся на резисторах равна мощности всех источников в цепи. В первой цепи $P_0 = U_0\cdot I = U_0^2/(r + R)$ .

Рассмотрим вторую цепь. Пусть $I_0$ – сила тока через нижний источник, $I_1$ – через правый резистор $R$ , $I_2$ – через верхний источник. Тогда силы тока через резисторы $R_1$ , $R_2$ и левый резистор $R$ равны, соответственно $I_1 - I_2$ , $I_0 - I_1$ и $I_0 + I_2 - I_1$ .

Мощность, выделяющаяся во второй цепи, равна суммарной мощности, вырабатываемой источниками $P = U_0\cdot I_0 + U_0\cdot I_2$ .

С другой стороны, обойдя схему по двум источникам можем записать:

2U_0 = I_0\cdot r + I_1\cdot R + I_2\cdot r + (I_0 + I_2 - I_1)\cdot R = (I_0 + I_2)\cdot(R + r).

Отсюда, следует, что

I_0 + I_2 = \frac{2U_0}{R + r}\ \Rightarrow\ P = U_0\cdot(I_0 + I_2) = \frac{2U_0^2}{R + r} = 2P_0 = 14\ \text{Вт}.

1.4. Возможное решение. Вариант №2. Общая мощность, выделяющаяся на резисторах, равна мощности всех источников в цепи. В первой цепи

P_0 = U_0\cdot I = U_0^2/(r + R).

Воспользуемся принципом суперпозиции (метод контурных токов) и рассмотрим вторую цепь следующим образом:

уберём верхний источник и расставим токи.

Теперь вернём верхний источник и уберём нижний. Из-за симметрии расположения резисторов получим следующее распределение сил тока: накладывая эти картины распределения друг на друга, получаем, что силы тока через резисторы $R_1$ и $R_2$ во второй цепи равны нулю, и эти резисторы можно не учитывать.

Сила тока, текущего в цепи, равна $I' = \frac{2U_0}{2(r+R)} = \frac{U_0}{r+R} = I$ . Отсюда находим мощность, выделяющуюся в цепи: $P = 2U_0\cdot I = 2P_0 = 14$ Вт.

Схема рис. 2 с обозначенными токами: $I_0$ через нижний источник, $I_1$ через правый резистор $R$, $I_2$ через верхний источник, $I_1 - I_2$ через $R_1$, $I_0 + I_2 - I_1$ по левой стороне, $I_0 - I_1$ по правой стороне.

Схема рис. 2 без верхнего источника: токи $I_1$ через нижний источник $U_0$, $I_2$ по правой стороне, $I_3$ через правый резистор $R$, $I_4$ по левой стороне, $I_5$ через $R_1$, $I_6$ через средний резистор $r$.

Схема рис. 2 без нижнего источника (внизу только резистор $r$): токи $I_1$ через верхний источник $U_0$ и средний резистор $r$, $I_2$ и $I_3$ по боковым сторонам, $I_4$ через правый $R$, $I_5$ через $R_1$, $I_6$ через нижний $r$.

Упрощённая схема без резисторов $R_1$ и $R_2$: последовательно резистор $R$, источник $U_0$, резистор $r$, резистор $R$, источник $U_0$ и резистор $r$ в одном контуре.

Оригинал в Архива: Ru22-R-10-T_10_Klass_teoretichesky_Tur.pdf