Съдържание

ВсОШ 2022, Регионален етап, 10. клас — Задача 1. Магнитики

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2022

LVI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Теоретический тур. 22 января 2022 г. 10класс

Условие

Как-то раз в руках у экспериментатора Глюка оказались стопка из шести мощных одинаковых магнитов, разделённых одинаковыми картонными прокладками, и высокоточный термометр. Дело оставалось за малым – провести какой-нибудь эксперимент. Не придумав ничего лучше, Глюк включил лабораторную электроплитку и прикрепил стопку магнитов к её боковой поверхности, затем стал измерять температуру крайнего (дальнего от плитки) магнита. Спустя некоторое время его температура перестала изменяться и оказалась равной $t_1 = 23^{o}\mathrm{C}$ , а температура соседнего магнита оказалась равной $t_2 = 29^{o}\mathrm{C}$ . Также Глюк измерил радиус магнита $r = 2{,}0$ см и его высоту (толщину) $h = 1{,}0$ см.

Определите температуру остальных магнитов и температуру плитки.

Считайте, что:

магниты обладают очень хорошей теплопроводностью, поэтому температура магнита одинакова во всех его точках;
температура воздуха одинакова во всех точках вблизи магнитов и равна $t_{\text{ос}} = 20^{o}\mathrm{C}$ ;
между магнитом и плиткой картонная прокладка отсутствует;
теплоотдача в окружающую среду пропорциональна разности температур цилиндра и воздуха и пропорциональна площади контакта магнита с воздухом;
поток тепла через картонный диск пропорционален разности температур его поверхностей и пропорционален площади диска.

Фотография: лабораторная электроплитка (Hot Plate) с ручкой регулятора и выключателем; к её боковой поверхности горизонтально прикреплена стопка из шести магнитов, разделённых тёмными прокладками; на крайнем магните подписано 23°, на соседнем — 29°.

Отговори

Решение

10.1. Возможное решение. Перенумеруем цилиндры, присвоив номер 1 самому дальнему от поверхности плитки цилиндру. Пусть $t_n$ – превышение температуры цилиндра с номером n над температурой воздуха. Тогда $q$ – поток тепла от первого цилиндра в окружающую среду определяется выражением

q = kt_1S.

Здесь $S$ – площадь поверхности первого цилиндра, находящейся в контакте с воздухом, $k$ – коэффициент пропорциональности. Площадь поверхности, контактирующей с воздухом, для остальных цилиндров вдвое меньше (радиус цилиндра вдвое больше его высоты) и для этих цилиндров

q_n = kt_n\frac{S}{2} = q\,\frac{t_n}{2t_1}.

Для потока тепла через картонную прокладку от второго цилиндра к первому $q_{21}$ справедливо выражение

q_{2,1} = \alpha(t_2 - t_1)

При этом $q_{2,1} = q$ , так как температуры цилиндров не меняются. Аналогично для потока тепла через картон от цилиндра с номером $(n + 1)$ к цилиндру с номером $n$

q_{n+1,n} = \alpha(t_{n+1} - t_n) = q_{2,1}\frac{t_{n+1} - t_n}{t_2 - t_1} = q\,\frac{t_{n+1} - t_n}{t_2 - t_1}

Для цилиндра с номером $n$ условие равенства потоков приходящего и уходящего тепла (уравнение теплового баланса) выглядит так

\frac{q(t_{n+1} - t_n)}{t_2 - t_1} = \frac{q(t_n - t_{n-1})}{t_2 - t_1} + \frac{q}{2}\frac{t_2}{t_1}.

После преобразований получаем

\frac{t_{n+1} - 2t_n + t_{n-1}}{t_2 - t_1} = \frac{t_n}{2t_1},

t_{n+1} = \frac{t_n}{2}\left(3 + \frac{t_2}{t_1}\right) - t_{n-1}.

Используя эту рекуррентную формулу, зная значения $t_1 = 3^{\circ}\mathrm{C}$ и $t_2 = 9^{\circ}\mathrm{C}$ , получаем:

t_3 = 24^{\circ}\mathrm{C},\ t_4 = 63^{\circ}\mathrm{C},\ t_5 = 165^{\circ}\mathrm{C},\ t_6 = 432^{\circ}\mathrm{C}.

С учётом того, что $t_n$ – разница температур цилиндра и воздуха окончательный ответ для значений температуры такой: третий цилиндр - 44℃, четвертый - 83℃, пятый - 185℃, шестой и плита - 452℃.

Схема стопки цилиндров: сверху цилиндры с температурами $t_1$, $t_2$, $t_3$, ниже — $t_{n-1}$, $t_n$, $t_{n+1}$, разделённые прокладками. Слева стрелки вверх с потоками $q$, $\frac{q(t_3-t_2)}{t_2-t_1}$, $\frac{q(t_n-t_{n-1})}{t_2-t_1}$, $\frac{q(t_{n+1}-t_n)}{t_2-t_1}$; справа волнистые стрелки теплоотдачи $q$, $\frac{q}{2}\frac{t_2}{t_1}$, $\frac{q}{2}\frac{t_n}{t_1}$.

Оригинал в Архива: Ru22-R-10-T_10_Klass_teoretichesky_Tur.pdf