Съдържание

ВсОШ 2022, Регионален етап, 10. клас — Задача 2. Тяжёлый поршень

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2022

LVI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Теоретический тур. 22 января 2022 г. 10класс

Условие

В вертикальном закрытом сосуде переменного сечения имеются два отделения цилиндрической формы: нижнее с площадью сечения $S_1 = S$ и высотой $h_1 = h$ , верхнее с площадью сечения $S_2 = 3S$ и высотой $h_2 = 3h$ . Нижнее отделение плотно и герметично закрыто подвижным теплопроводящим поршнем (поршень не приклеен, но газ не проникает в пространство между поршнем и опорами), который может с минимальным трением перемещаться внутри верхнего отделения. В обоих отделениях находится одно и то же количество $\nu$ газа при температуре $T_0$ . Газ во всём сосуде медленно нагревают. Когда температура газа достигает величины $2T_0$ поршень отрывается от опор.

Сосуд из двух цилиндрических отделений: верхнее широкое сечения $S_2$ и высоты $h_2$ с газом $\nu, T_0$; под ним серый поршень; нижнее узкое отделение сечения $S_1$ и высоты $h_1$ с газом $\nu, T_0$, по бокам заштрихованные опоры.

1. Чему равна масса поршня?

2. На какой высоте $h'$ от нижнего основания сосуда окажется поршень в равновесии? Температура всего газа поддерживается равной $2T_0$ .

3. Газ в сосуде начинают медленно охлаждать. При какой температуре $T$ поршень снова опустится на опоры?

Примечание: температура газа над и под поршнем всегда поддерживается одинаковой.

Отговори

Решение

10.2. Возможное решение.

1. Поршень отрывается, когда сила давления газа под поршнем становится равной сумме сил давления газа над поршнем и силы тяжести поршня: $p_1S_1 = p_2S_2 + mg$ . Давление газа можно выразить из уравнения Менделеева-Клапейрона: $pV = \nu RT \Rightarrow p = \nu RT/V$ . Из этих уравнений получим:

mg = p_1S_1 - p_2S_2 = \frac{\nu R2T_0}{h_1} - \frac{\nu R2T_0}{h_2} = 2\nu RT_0\left(\frac{1}{h_1} - \frac{1}{h_2}\right) = \frac{4}{3}\frac{\nu RT_0}{h}.

Отсюда масса поршня равна $m = \frac{4}{3}\frac{\nu RT_0}{gh}$ .

2. Заметим, что как только поршень оторвётся от упоров, газ под поршнем начнёт давить сразу на всю его площадь, и сила давления скачком увеличится. Так как между поршнем и стенками есть малая сила трения, то через некоторое время поршень остановится в положении равновесия. Запишем условие равновесия:

p_1'S_2 - p_2'S_2 = mg \Rightarrow \frac{\nu R\cdot 2T_0\cdot 3S}{S_1h_1 + 3S_1\left(h' - h_1\right)} - \frac{\nu R\cdot 2T_0\cdot 3S}{3S_1\left(4h_1 - h'\right)} = \frac{4}{3}\frac{\nu RT_0}{h}.

\frac{3}{\left(3h' - 2h_1\right)} - \frac{1}{\left(4h_1 - h'\right)} = \frac{2}{3h}.

Отсюда

\frac{14h - 6h'}{-3\left(h'\right)^2 + 14hh' - 8h^2} = \frac{2}{3h}.

Решая квадратное уравнение, получим: $h' = \frac{23 \pm \sqrt{181}}{6}h.$

Корень со знаком плюс не подходит, так как он больше $4h$ . Окончательно:

h' = \frac{23 - \sqrt{181}}{6}h \approx 1{,}6h.

3. Пусть теперь газ охладился до температуры $T$ . Запишем условие равновесия с учётом того, что $h = h_1$ , и непосредственно перед соприкосновением с опорами газ давит на всю площадь поршня как сверху, так и снизу:

\frac{\nu RT\cdot 3S_1}{S_1h_1} - \frac{\nu RT\cdot 3S_1}{3S_1\cdot 3h_1} = \frac{4}{3}\frac{\nu RT_0}{h_1} \Rightarrow \frac{8T}{3} = \frac{4T_0}{3} \Rightarrow T = \frac{T_0}{2}.

Оригинал в Архива: Ru22-R-10-T_10_Klass_teoretichesky_Tur.pdf