ВсОШ 2022, Регионален етап, 10. клас — Задача 3. Мягкая посадка

• Если $v_{\text{п}} < \sqrt{2gh}$, то $v = \sqrt{2gh} - v_{\text{п}}$ (двигатели работают, расход не нулевой). Если $v_{\text{п}} \geq \sqrt{2gh}$, то $v \leq \sqrt{v_{\text{п}}^2 - 2gh}$ (двигатели не работают, расход топлива равен нулю).

10.3. Возможное решение. Пусть $M$ – масса космического корабля, $\mu$ - массовый расход топлива, $u$ – скорость истечения газов относительно корабля, $v$ – начальная скорость корабля, $a$ – ускорение корабля (направлено вверх).

Поскольку $\mu$ и $u$ постоянны, то и реактивная сила тяги $F = \mu u$ тоже постоянна, следовательно, корабль движется равноускорено.

Пусть его конечная скорость равна $v_{\text{к}}$. Введем ось y, направленную вертикально вверх, тогда ускорение корабля $a_y = \frac{v^2 - v_{\text{к}}^2}{2h}$. Время от начала торможения до полной остановки равно $t = \frac{v - v_{\text{к}}}{a_y} = \frac{2h}{v + v_{\text{к}}}$. Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось $y$:

Общий расход топлива за время торможения равен

Из неравенства Коши известно, что если произведение двух величин равно константе, то их сумма достигает минимума при равенстве величин. В нашем случае произведение $(v + v_{\text{к}})\cdot\frac{2gh}{v + v_{\text{к}}}$ является константой, значит, минимальная масса потраченного топлива достигается при $v + v_{\text{к}} = \frac{2gh}{v + v_{\text{к}}}$, тогда $v + v_{\text{к}} = \sqrt{2gh}$.

Подставим найденное значение $v = \sqrt{2gh} - v_{\text{к}}$ в формулу для массы потраченного топлива: $m_{\text{топл}} = \frac{M}{u}\cdot\left(v - v_{\text{к}} + \frac{2gh}{v + v_{\text{к}}}\right) = \frac{M}{u}\cdot\left(\sqrt{2gh} - 2v_{\text{к}} + \frac{2gh}{\sqrt{2gh}}\right) = \frac{M}{u}\cdot 2\left(\sqrt{2gh} - v_{\text{к}}\right)$. Значит:

1. $m_{\text{топл}}$ будет минимальной при максимальной конечной скорости $v_{\text{к}} = v_{\text{п}}$, следовательно, $v = \sqrt{2gh} - v_{\text{п}}$;

2. Полученный нами ответ справедлив при $v_{\text{п}} \leq \sqrt{2gh}$; в противном случае будет отрицательный расход топлива и отрицательная начальная скорость, что противоречит физическому смыслу.

Рассмотрим отдельно случай, когда $v_{\text{п}} \geq \sqrt{2gh}$. При этом корабль может совершать свободное падение с нулевым расходом топлива. Например, при нулевой начальной скорости он приблизится к поверхности со скоростью $v = \sqrt{2gh}$, которая меньше предельной посадочной.

Во втором случае из закона сохранения энергии $v = \sqrt{v_{\text{к}}^2 - 2gh}$ и, учитывая, что $0 \leq v_{\text{к}} \leq v_{\text{п}}$, получим: $v \leq \sqrt{v_{\text{п}}^2 - 2gh}$.

Окончательный ответ:

Если $v_{\text{п}} < \sqrt{2gh}$, то $v = \sqrt{2gh} - v_{\text{п}}$, при этом двигатели работают, и расход не нулевой.

Если $v_{\text{п}} \geq \sqrt{2gh}$, то $v \leq \sqrt{v_{\text{п}}^2 - 2gh}$, при этом двигатели не работают, и расход топлива равен нулю.