Съдържание

ВсОШ 2022, Регионален етап, 11. клас — Задача 1. «Серый» ящик

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2022

LVI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Экспериментальный тур. 24 января 2022 г. 11класс · 24 януари 2022 г.

Условие

«Серый» ящик с тремя выводами содержит источник с постоянной ЭДС $\mathcal{E}$ и два резистора. Указанные элементы соединены по одной из трёх возможных схем, представленных на рис. 1.

Три схемы соединения источника ЭДС и двух резисторов r и R с тремя выводами 1, 2, 3: «Звезда» (источник от вывода 1 к общему узлу, резисторы r к выводу 2 и R к выводу 3), «Цепочка» (вывод 1 — r — источник — узел с выводом 2 — R — вывод 3), «Треугольник» (r между 1 и 2, R между 2 и 3, источник между 1 и 3). Подписи «Звезда», «Цепочка», «Треугольник». — Рис. 1

На крышке ящика выводы в произвольном порядке помечены буквами « $A$ », « $B$ » и « $C$ » (см. фотографию). Внутреннее сопротивление источника ЭДС, находящегося в «сером ящике», пренебрежимо мало по сравнению с $r$ и $R$ .

1. Установите, по какой из трёх возможных схем («звезда», «цепочка» или «треугольник») соединены элементы.

Фотография чёрного «серого» ящика с тремя выводами-клеммами, помеченными оранжевыми наклейками A, B, C, и номером 36.

2. Установите соответствие между точками «1», «2», «3» и выводами « $A$ », « $B$ » и « $C$ », считая, что $r < R$ .

3. Определите значение ЭДС $\mathcal{E}$ , и сопротивления резисторов $r$ и $R$ .

Из-за ограниченного времени на выполнение задания погрешности оценивать не требуется, однако точность полученных вами промежуточных и конечных результатов будет учитываться при выставлении баллов.

Оборудование. «Серый» ящик, мультиметр со щупами.

Внимание!

В начале своего решения обязательно укажите номер выданного вам «серого» ящика (на фото это № 36).
Запрещается «закорачивать» выводы серого ящика (например, с помощью проводов мультиметра, его щупа и т.д.).
Внутреннее сопротивление мультиметра в режиме измерения напряжения может существенно отличаться от стандартного.

Отговори

Решение

Э-11.1. Возможное решение. Внимание! Все измеренные значения приведены для авторской установки.

Измерим напряжение между выводами $A$ и $B$ , $A$ и $C$ , $B$ и $C$ :

U_{AB} = 0{,}00\ \mathrm{В},\ U_{AC} = 12{,}73\ \mathrm{В},\ U_{BC} = 6{,}82\ \mathrm{В}.

Пусть в ящике элементы соединены «треугольником». Тогда между выводами $A$ и $B$ должен быть резистор практически нулевого сопротивления. Однако, в таком случае, остальные два напряжения должны совпадать (или быть очень близкими), что не наблюдается. Значит, в ящике элементы соединены или «звездой», или «цепочкой».

Предположим, что в ящике элементы соединены «звездой». По тем же измерениям установим соответствие между выводами. Так как напряжение между выводами $A$ и $B$ равно нулю, источник подключён к выводу $C$ (то есть $C$ →1). Напряжение между выводами $A$ и $C$ больше, следовательно, резистор, подключённый к выводу $A$ , имеет меньшее сопротивление (то есть $A$ →2). Соответственно, $B$ →3.
Различие между полученными значениями напряжения ( $U_{AC} \neq U_{BC}$ ) показывает, что внутренним сопротивлением вольтметра пренебречь нельзя!

Кроме того, омметр, даже в режиме 2 МОм, подключённый к выводам $A$ и $B$ (2 и 3), «зашкаливает», что говорит о том, что $r + R > 2$ МОм.

Вариант 1. У мультиметра минимальный предел измерения силы тока 200 μA (серия 830).

Переведём мультиметр в режим микроамперметра (предел 200 μA) и измерим силу тока между всеми парами выводов. Получаем значения:

I_{AB} = 0,\ I_{AC} = 37{,}7\ \mathrm{мкА},\ I_{BC} = 10{,}6\ \mathrm{мкА}.

Пусть $R_V$ – сопротивление прибора в режиме вольтметра. Тогда:

U_{AC} = \frac{\mathcal{E}R_V}{R_V + r},\quad U_{BC} = \frac{\mathcal{E}R_V}{R_V + R}.

С другой стороны, $\mathcal{E} = I_{AC} r = I_{BC} R$ .
Отсюда получаем, что

\frac{R}{r} = \frac{I_{AC}}{I_{BC}} = \frac{37{,}7}{10{,}6} = 3{,}56.

\frac{R_V + R}{R_V + r} = \frac{U_{AC}}{U_{BC}} = \frac{12{,}73}{6{,}82} = 1{,}87 \ \Rightarrow\ R_V + 3{,}56 r = 1{,}87 R_V + 1{,}87 r\,.

\Rightarrow\ r = 0{,}514 R_V.

Подставим найденное значение:

U_{AC} = \frac{\mathcal{E}}{1 + 0{,}514}\ \Rightarrow\ \mathcal{E} = 1{,}514 U_{AC} = 1{,}514 \cdot 12{,}73\ \mathrm{В} \approx 19{,}3\ \mathrm{В}.

r = \frac{\mathcal{E}}{I_{AC}} = \frac{19{,}3\ \mathrm{В}}{37{,}7\ \mathrm{мкА}} = 512\ \mathrm{кОм},\qquad R = \frac{\mathcal{E}}{I_{BC}} = \frac{19{,}3\ \mathrm{В}}{10{,}6\ \mathrm{мкА}} = 1{,}82\ \mathrm{МОм}.

Вариант 2. У мультиметра минимальный предел измерения 2000 μA (серия 832, 838).

Переведём мультиметр в режим микроамперметра (предел 2000 μA) и измерим ток между всеми парами выводов. Получаем значения:

I_{AB} = 0,\ I_{AC} = 38\ \mathrm{мкА},\ I_{BC} = 11\ \mathrm{мкА}.

Пусть $R_V$ – сопротивление прибора в режиме вольтметра. Тогда

U_{AC} = \frac{\mathcal{E}R_V}{R_V + r},\quad U_{BC} = \frac{\mathcal{E}R_V}{R_V + R}.

С другой стороны, $\mathcal{E} = I_{AC} r = I_{BC} R$ .
Отсюда получаем, что

\frac{R}{r} = \frac{I_{AC}}{I_{BC}} = \frac{38}{11} = 3{,}45.

\frac{R_V + R}{R_V + r} = \frac{U_{AC}}{U_{BC}} = \frac{12{,}73}{6{,}82} = 1{,}87;\ \Rightarrow\ R_V + 3{,}45 r = 1{,}87 R_V + 1{,}87 r;

\Rightarrow\ r = 0{,}55 R_V.

Подставим найденное значение:

U_{AC} = \frac{\mathcal{E}}{1 + 0{,}55}\ \Rightarrow\ \mathcal{E} = 1{,}55 U_{AC} = 1{,}55 \cdot 12{,}73\ \mathrm{В} = 19{,}7\ \mathrm{В}.

r = \frac{\mathcal{E}}{I_{AC}} = \frac{19{,}7\ \mathrm{В}}{38\ \mathrm{мкА}} = 520\ \mathrm{кОм},\qquad R = \frac{\mathcal{E}}{I_{BC}} = \frac{19{,}7\ \mathrm{В}}{11\ \mathrm{мкА}} = 1{,}8\ \mathrm{МОм}.

Теперь предположим, что внутри ящика элементы соединены «цепочкой». В этом случае результаты измерения напряжения между выводами дают то же соответствие, что и в предыдущем случае ( $C$ →1, $A$ →2, $B$ →3), так как сумма сопротивлений между выводами $A$ и $B$ по схеме всегда больше $r$ .
Можно заметить, что для соединения «цепочкой» все приведённые выше формулы остаются справедливыми с точностью до замены: $R \to r + R$ . Отсюда следует, что в рассматриваемом варианте

r = 511\ \mathrm{кОм},\qquad r + R = 1{,}82\ \mathrm{МОм}\ \Rightarrow\ R = 1{,}31\ \mathrm{МОм}.

Однако, как сказано выше, омметр, подключённый к выводам 2 и 3, зашкаливает, хотя для соединения цепочкой он должен показывать значение $R$ .

Полученное противоречие говорит о том, что внутри ящика элементы соединены «звездой».

Вычисленные значения равны:

(вариант 1) $\mathcal{E}$ = 19,3 В; $r$ = 512 кОм; $R$ = 1,82 МОм.

(вариант 2) $\mathcal{E}$ = 19,7 В; $r$ = 520 кОм; $R$ = 1,82 МОм.

Примечание: значения, измеренные напрямую в авторской установке:

$\mathcal{E}$ = 19,20 В, $r$ = 507 кОм, $R$ = 1,8 МОм.

Общие формулы (их вывод от участников олимпиады не требуется):

\mathcal{E} = \frac{U_{AC}U_{BC}(I_{AC} - I_{BC})}{I_{AC}U_{BC} - I_{BC}U_{AC}},\quad r = \frac{U_{AC}U_{BC}(I_{AC} - I_{BC})}{I_{AC}\cdot(I_{AC}U_{BC} - I_{BC}U_{AC})},\quad R = \frac{U_{AC}U_{BC}(I_{AC} - I_{BC})}{I_{BC}\cdot(I_{AC}U_{BC} - I_{BC}U_{AC})}.

Оригинал в Архива: Ru22-R-11-E1_Sery_Yaschik_S_Bolshimi_Soprotivleniami.pdf