ВсОШ 2022, Регионален етап, 11. клас — Задача 5. Круг Снелла

• O — точка пересечения общих внутренних касательных AB и MN к кругу и его изображению; плоскость линзы — прямая OP, где P — точка пересечения прямых AM и BN; главная оптическая ось O₁O₂ перпендикулярна OP в точке O; фокусы F₁, F₂ — точки пересечения оси с лучами, идущими параллельно оси через M и N и проходящими после линзы через N и M соответственно.

Поскольку плоскость линзы находится между источником и его изображением, то изображение является действительным, причём фокальные плоскости линзы также находятся между ними – в противном случае изображение оказалось бы «разорванным» на действительную и мнимую часть.

Точечный источник и его изображение в линзе лежат на прямой, проходящей через оптический центр $O$. Если прямая, проходящая через оптический центр, касается круга, то на этой прямой находится изображение лишь одной его точки. Это означает, что данная прямая касается и изображения круга. Из этого следует, что оптический центр линзы $O$ находится в точке пересечения общих внутренних касательных $AB$ и $MN$ к кругу и его изображению.

Рассмотрим луч, проходящий через точки $A$ и $M$. После преломления в линзе он проходит через точки пересечения касательных к изображению круга $B$ и $N$. Поэтому в точке пересечения линий, проходящих через точки круга и его изображения, находится точка $P$, принадлежащая плоскости линзы. Проведя прямую $OP$, найдём положение плоскости линзы.

Отметим, что для построения плоскости линзы можно провести через $O$ любые две прямые, пересекающие круг и его изображение (например, $CL$ и $DE$), выбрать на этих прямых точки, принадлежащие кругу, используя найденный центр линзы определить изображения этих точек ($L$ и $E$), а затем провести через эти пары точек прямые до пересечения, чтобы определить положение точки в плоскости линзы.

Однако при таком подходе важно не перепутать изображения этих точек с другими точками пересечения прямых $CO$, $DO$ с линией изображения («ложные точки» $E_1$ и $L_1$). Для правильного выбора достаточно заметить, что для действительных изображений в собирающей линзе увеличение расстояние от предмета до линзы приводит к уменьшению расстояния от линзы до изображения. Поэтому изображениям «дальних» от $O$ точек пересечения круга с прямыми ($C$ и $D$) отвечают «ближние» к $O$ точки пересечения этих прямых с эллипсом-изображением.

Закачивая наше построение, определим главную оптической ось линзы $O_1O_2$ как прямую, проходящую через точку $O$ перпендикулярно $OP$. Наконец, для определения положения фокусов линзы рассмотрим лучи, идущие параллельно главной оптической оси через точку $M$ и её изображение $N$. По другую сторону от линзы эти лучи проходят через точки $N$ и $M$ соответственно, пересекая оптическую ось в точках фокусов $F_1$ и $F_2$. Как видно, фокальные плоскости действительно оказались между кругом и его изображением.