ВсОШ 2022, Регионален етап, 11. клас — Задача 4. Гантель в магнитном поле

• $L_{\max} = \frac{m v_0}{q B_r},\quad u_{\max} = v_0,\quad t_n = \frac{\pi m}{2qB_r}(2n-1)$
• 1) $L_{\max} = \frac{m v_0}{q B_r}$
• 2) $u_{\max} = v_0$
• 3) $t_n = \frac{\pi m}{2 q B_r}(2n-1),\ n \in \mathbb{N};\quad t_1 = \frac{\pi m}{2qB_r}$

11.4. Возможное решение. Вызываемые осевой проекцией магнитного поля силы направлены вдоль стержня, равны по величине и противоположно направлены и не сказываются на движении гантели.

В начальный момент силы, связанные с радиальной проекцией магнитного поля, оказываются тангенциальными, то есть перпендикулярными оси и радиальному направлению. Это приводит к росту угловой скорости вращения вокруг оси симметрии, но при этом нет сил, смещающих центр гантели поперёк оси или вызывающих поворот плоскости вращения. В самом деле, при скорости $v$ шариков вдоль оси и окружной скорости $u$ возникающие из-за радиальной проекции магнитного поля $B_r$ силы перпендикулярны скорости шариков и имеют осевую составляющую $F_x = -quB_r$ и тангенциальную (окружную) $F_\tau = qVB_r$. Соответственно

Пока $v$ не уменьшится до нуля, окружная и угловая скорости растут. Поскольку работа магнитной силы равна нулю, то кинетическая энергия остаётся неизменной и максимальная окружная скорость $u_{max} = v_0$.

При смещении центра гантели на $x$ от начальной точки

откуда $mu = qB_r x$. Для максимального смещения $L_{\max}$ имеем:

После подстановки $u = \frac{qB_r x}{m}$ в выражение $m\frac{dv}{dt} = -quB_r$ получим уравнение гармонических колебаний

с круговой частотой $\omega = \frac{qB_r}{m}$ и периодом $T = \frac{2\pi m}{qB_r}$. Первый раз от момента начала движения максимальная скорость вращения будет достигнута через четверть периода $t_1 = \frac{\pi m}{2qB_r}$. Затем максимальное значение скорости вращения будет достигаться через каждые полпериода. Таким образом, для моментов времени, в которые достигается максимальная скорость вращения, справедлива формула

где $n$ - натуральное число.