Съдържание

ВсОШ 2022, Регионален етап, 11. клас — Задача 3. Плоский конденсатор

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2022

LVI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Теоретический тур. 22 января 2022 г. 11 класс · 22 януари 2022 г.

Условие

Две круглые непроводящие пластины радиуса $R$ располагаются параллельно на малом расстоянии $d \ll R$ друг от друга, образуя плоский конденсатор. Пластины заряжены равномерно с поверхностными плотностями заряда $+\sigma$ и $-\sigma$ . Точки $O_1$ и $O_2$ — центры пластин. Точки $A$ и $B$ находятся на краях пластин. Отрезки $O_1O_2$ и $AB$ перпендикулярны плоскостям пластин. Найдите разности потенциалов между парами точек:

1) $O_1$ и $O_2$ ;

2) $A$ и $B$ ;

3) $O_1$ и $A$ .

Две круглые пластины на расстоянии d: верхняя с +σ, центром O₁ и радиусом R, точкой A на краю; нижняя с −σ и точкой B на краю под A.

Отговори

Решение

11.3. Решение задачи. 1. Напряжённость электрического поля в зазоре между центрами пластин соответствует напряжённости между двумя бесконечными плоскостями $E_1 = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ . Тогда разность потенциалов между центрами пластин $\varphi_{O_1} - \varphi_{O_2} = \frac{\sigma d}{\varepsilon_0}$ .

Сечение конденсатора: верхняя пластина +σ с точками A и O₁, нижняя −σ с точками B и O₂; вектор E₁ между центрами направлен вниз, вектор E₂ на краю AB наклонён вниз.

Две полуплоскости, продолженные ещё двумя полуплоскостями; на краю показаны векторы поля от каждой пары и суммарный вектор, направленный вниз.

Рассмотрим поле $\vec{E}_2$ в зазоре на границе пластин.

Так как зазор мал, пластины можно считать полуплоскостями. Для нахождения поля $\vec{E}_2$ между ними мысленно добавим ещё две полуплоскости. Они будут создавать напряжённость поля, имеющую такую же нормальную (т. е. перпендикулярную плоскостям) компоненту, а суммарная напряжённость поля от всех четырёх полуплоскостей будет равна $E_1$ . Таким образом получаем, что нормальная компонента напряжённости электрического поля двух полуплоскостей равна половине $E_1$ , или

E_{2n} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}.

Приведённое рассуждение применимо для любой точки отрезка $AB$ , отсюда разность потенциалов между краями пластин:

\varphi_A - \varphi_B = \frac{\sigma d}{2\varepsilon_0}.

Из потенциальности электрического поля следует:

\varphi_{O_1} - \varphi_A = \varphi_B - \varphi_A + \varphi_{O_2} - \varphi_B + \varphi_{O_1} - \varphi_{O_2}

Из соображений симметрии $\varphi_{O_1} - \varphi_A = \varphi_B - \varphi_{O_2}$ . Комбинируя эти выражения, получаем

\varphi_{O_1} - \varphi_A = \frac{1}{2}\left((\varphi_{O_1} - \varphi_{O_2}) - (\varphi_A - \varphi_B)\right) = \frac{\sigma d}{4\varepsilon_0}.

Оригинал в Архива: Ru22-R-11-T_11_Klass_teoretichesky_Tur.pdf