Съдържание

ВсОШ 2022, Регионален етап, 8. клас — Задача 2. Балансир

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2022

Всероссийская олимпиада школьников им. Максвелла. Региональный этап. Теоретический тур. 22 января 2022 г. 8 класс · 22 януари 2022 г.

Условие

Две пружины жёсткостью $k$ (длинная) и $2k$ (короткая) отличаются по длине на $l$ . Их прикрепляют к однородной массивной балке длиной $8l$ . Затем конструкцию устанавливают на лёгкие тонкие поршни сообщающихся сосудов, заполненных жидкостью плотностью $\rho$ , сечения которых $S$ и $2S$ . При этом балка принимает горизонтальное положение. Определите массу балки $M$ .

Горизонтальная балка, к которой снизу прикреплены две пружины (левая длинная, правая короткая), опирающиеся на поршни сообщающихся сосудов с сечениями S (слева) и 2S (справа), заполненных жидкостью; стрелка вниз между пружинами.

Отговори

Решение

Введем обозначения $T_1$ , $l_1$ и $\Delta l_1$ – сила упругости, длина и деформация левой пружины, $T_2$ , $l_2$ и $\Delta l_2$ – сила упругости, длина и деформация правой пружины, $\Delta h$ - разница высот между поршнями.

Определим силы упругости пружин. Для этого применим правило моментов для балки относительно точек крепления правой и левой пружин:

T_1 \cdot 4l = Mg \cdot l.

T_2 \cdot 4l = Mg \cdot 3l.

Откуда следует:

T_1 = \frac{1}{4}Mg.

T_2 = \frac{3}{4}Mg.

Таким образом, давление под правым поршнем будет выше, чем под левым (площади отличаются в 2 раза, а силы – в 3). Значит, левый поршень поднимется, а правый опустится.

Из закона Гука:

\Delta l_1 = \frac{Mg}{8k};\ \Delta l_2 = \frac{3Mg}{4k}. \quad (1)

Из условия равенства давлений на дне сообщающихся сосудов:

\frac{Mg}{8S} = \rho g \Delta h. \quad (2)

\frac{3Mg}{4 \cdot 2S} = \frac{Mg}{4 \cdot S} + \rho g \Delta h.

Поскольку балка горизонтальна:

l_1 - \Delta l_1 + \Delta h = l_2 - \Delta l_2. \quad (3)

С учётом разницы длин пружин:

\Delta h = l - \Delta l_2 + \Delta l_1 = l - \frac{3Mg}{4k} + \frac{Mg}{8k}. \quad (4)

Подставляя (4) в (2), получим:

\frac{Mg}{8S} = \rho g\left(l - \frac{5Mg}{8k}\right).

Откуда:

M = \frac{8\rho S l k}{(5\rho g S + k)}.

Оригинал в Архива: Ru22-R-8-T_8_Klass_teoretichesky_Tur.pdf