Съдържание

ВсОШ 2022, Регионален етап, 8. клас — Задача 4. Обледенение

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2022

Всероссийская олимпиада школьников им. Максвелла. Региональный этап. Теоретический тур. 22 января 2022 г. 8 класс · 22 януари 2022 г.

Условие

В теплоизолированный сосуд по одной трубе с массовым расходом $\mu_1$ поступает колотый лёд при температуре $t_1 = 0^{\circ}\mathrm{C}$ , а по другой с массовым расходом $\mu_2$ наливается вода при температуре $t_2$ . На осях $\mu_1(\mu_2)$ представлена диаграмма состояний содержимого сосуда.

Диаграмма состояний в осях μ₂, г/мин (горизонтальная, 0–500) и μ₁, г/мин (вертикальная, 0–300): прямая из начала координат с наклоном 0,25 разделяет области «вода+лед» (выше) и «вода» (ниже, заштрихована).

1) Определите температуру $t_2$ поступающей воды.

2) Постройте на осях $\mu_1(\mu_2)$ диаграмму состояний содержимого сосуда для случая, когда температура поступающей воды остается прежней, а температура льда равна $t_3 = -40^{\circ}\mathrm{C}$ .

Удельная теплоёмкость воды $c_\mathrm{в} = 4200$ Дж/(кг·°C), удельная теплоёмкость льда $c_\mathrm{л} = 2100$ Дж/(кг·°C), удельная теплота плавления льда $\lambda = 335$ кДж/кг. Теплоёмкостью сосуда можно пренебречь.

Отговори

Решение

Прямая, разделяющая на диаграмме две области, соответствует состоянию, в котором сосуд заполнен только водой при $0^{\circ}\mathrm{C}$ . Т.е. весь лёд тает, но не нагревается. Тогда можно записать уравнение теплового баланса для поступивших за время $\tau$ порций воды и льда:

\mu_1\tau\lambda = \mu_2\tau c_\mathrm{в}(t_2 - t_0),\ \text{где}\ t_0 = 0^{\circ}\mathrm{C}\ \text{– температура плавления льда.}

По угловому коэффициенту наклона прямой $\mu_1 = \mu_2 c_\mathrm{в} t_2/\lambda$ можно найти температуру воды.

c_\mathrm{в}t_2/\lambda = 0{,}25,\ \text{откуда}\ t_2 = 20^{\circ}\mathrm{C}.

Если по первой трубе будет поступать «холодный» лёд, то содержимое сосуда может находиться в трёх различных равновесных состояниях: 1) только лёд; 2) смесь вода + лёд; 3) только вода.

Найдем границу 1 и 2 состояний. Вся поступающая вода замерзает, но остается при $0^{\circ}\mathrm{C}$ . До этой же температуры нагревается поступающий лёд. Запишем уравнение теплового баланса.

\mu_1\tau c_\mathrm{л}(t_0 - t_3) = \mu_2\tau c_\mathrm{в}(t_2 - t_0) + \mu_2\tau\lambda,

из которого найдём коэффициент наклона прямой, разделяющей 1 и 2 состояния.

\mu_1/\mu_2 = (c_\mathrm{в}(t_2 - t_0) + \lambda)/(c_\mathrm{л}(t_0 - t_3)) = 5{,}0.

Граница 2 и 3 состояний находится аналогично. Только теперь весь поступающий лёд тает и остаётся при $0^{\circ}\mathrm{C}$ .

Новая диаграмма состояний в осях μ₂, г/мин (0–500) и μ₁, г/мин (0–300): крутая прямая с наклоном 5,0 отделяет область «лед» (слева вверху), пологая прямая с наклоном 0,20 отделяет область «вода» (внизу, заштрихована); между ними область «вода+лед».

Такому процессу соответствует уравнение теплового баланса:

\mu_1\tau c_\mathrm{л}(t_0 - t_3) + \mu_1\tau\lambda = \mu_2\tau c_\mathrm{в}(t_2 - t_0),

из которого $\mu_1/\mu_2 = c_\mathrm{в}(t_2 - t_0)/(c_\mathrm{л}(t_0 - t_3) + \lambda) = 0{,}20$ .

Строим новую диаграмму состояний.

Оригинал в Архива: Ru22-R-8-T_8_Klass_teoretichesky_Tur.pdf