Съдържание

ВсОШ 2022, Регионален етап, 9. клас — Задача 1. «Серый» ящик

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2022

LVI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Экспериментальный тур. 24 января 2022 г. 9 класс · 24 януари 2022 г.

Бележка

Внимание!

В начале решения обязательно укажите номер «серого» ящика (на фото это № 36).
Запрещается «закорачивать» выводы ящика (например, с помощью проводов мультиметра, его щупа и т.д.).
Внутреннее сопротивление мультиметра в режиме измерения напряжения может существенно отличаться от стандартного для данного прибора.

Условие

Ящик с тремя выводами содержит источник постоянного напряжения $\mathcal{E}$ и два резистора. Указанные элементы соединены по одной из двух схем, представленных на рис. 1.

Две схемы соединения в пунктирных кругах: «Звезда» — источник ℰ от вывода 1 к общему узлу, от узла резистор r к выводу 2 и резистор R к выводу 3; «Треугольник» — резистор r между выводами 1 и 2, резистор R между 2 и 3, источник ℰ между 1 и 3. Между схемами надпись «или». — Рис. 1

Фотография крышки серого ящика с тремя выводами (винтами), помеченными оранжевыми наклейками A, B, C, и номером 36. — Фото 1

На крышке ящика выводы в произвольном порядке помечены буквами $A$ , $B$ и $C$ . Внутреннее сопротивление источника, пренебрежимо мало по сравнению с сопротивлениями резисторов $r$ и $R$ .

1. Установите, по какой из схем («звезда» или «треугольник») соединены элементы.

2. Установите соответствие между точками «1», «2», «3» и выводами $A$ , $B$ и $C$ , считая, что $r < R$ .

3. Определите значение напряжения $\mathcal{E}$ источника и сопротивления резисторов $r$ и $R$ .

4. Оцените погрешности результатов.

Оборудование. «Серый» ящик, мультиметр со щупами.

Отговори

Решение

Э-9.1. Возможное решение. Внимание! Все измеренные значения приведены для авторской установки.

Измерим напряжение между выводами $A$ и $B$ , $A$ и $C$ , $B$ и $C$ :

U_{AB} = 0{,}00\ \mathrm{В},\ U_{AC} = 12{,}73\ \mathrm{В},\ U_{BC} = 6{,}82\ \mathrm{В}.

Пусть в ящике элементы соединены «треугольником». Тогда между выводами $A$ и $B$ должен быть резистор практически нулевого сопротивления. Однако, в таком случае, остальные два напряжения должны совпадать (или быть очень близкими), что не наблюдается. Значит, в ящике элементы соединены «звездой».

По тем же измерениям установим соответствие между выводами. Так как напряжение между выводами $A$ и $B$ равно нулю, источник подключён к выводу $C$ (то есть $C \to 1$ ). Напряжение между выводами $A$ и $C$ больше, следовательно, резистор, подключённый к выводу $A$ , имеет меньшее сопротивление (то есть $A \to 2$ ). Соответственно, $B \to 3$ .
Различие между полученными значениями напряжения ( $U_{AC} \neq U_{BC}$ ) показывает, что вольтметр нельзя считать идеальным!

Кроме того, омметр, даже в режиме 2 МОм, подключённый к выводам $A$ и $B$ (2 и 3), «зашкаливает», что говорит о том, что $r + R > 2$ МОм.

Вариант 1. У мультиметра минимальный предел измерения силы тока 200 μA (серия 830).

Переведём мультиметр в режим микроамперметра (предел 200 μA) и измерим силу тока между всеми парами выводов. Получим значения:

I_{AB} = 0,\ I_{AC} = 37{,}7\ \mathrm{мкА},\ I_{BC} = 10{,}6\ \mathrm{мкА}.

Пусть $R_V$ – сопротивление прибора в режиме вольтметра. Тогда:

U_{AC} = \frac{\mathcal{E}R_V}{R_V + r},\quad U_{BC} = \frac{\mathcal{E}R_V}{R_V + R}.

С другой стороны, $\mathcal{E} = I_{AC} r = I_{BC} R$ .
Отсюда получаем, что

\frac{R}{r} = \frac{I_{AC}}{I_{BC}} = \frac{37{,}7}{10{,}6} = 3{,}56.

\frac{R_V + R}{R_V + r} = \frac{U_{AC}}{U_{BC}} = \frac{12{,}73}{6{,}82} = 1{,}87 \Rightarrow R_V + 3{,}56r = 1{,}87R_V + 1{,}87r.

\Rightarrow r = 0{,}514R_V.

Подставим найденное значение:

U_{AC} = \frac{\mathcal{E}}{1 + 0{,}514} \Rightarrow \mathcal{E} = 1{,}514U_{AC} = 1{,}514 \cdot 12{,}73\ \mathrm{В} \approx 19{,}3\ \mathrm{В}.

r = \frac{\mathcal{E}}{I_{AC}} = \frac{19{,}3\ \mathrm{В}}{37{,}7\ \mathrm{мкА}} = 512\ \mathrm{кОм},\quad R = \frac{\mathcal{E}}{I_{BC}} = \frac{19{,}3\ \mathrm{В}}{10{,}6\ \mathrm{мкА}} = 1{,}82\ \mathrm{МОм}.

Вариант 2. У мультиметра минимальный предел измерения 2000 μA (серия 832, 838).

Переведём мультиметр в режим микроамперметра (предел 2000 μA) и измерим ток между всеми парами выводов. Получаем значения:

I_{AB} = 0,\ I_{AC} = 38\ \mathrm{мкА},\ I_{BC} = 11\ \mathrm{мкА}.

Пусть $R_V$ – сопротивление прибора в режиме вольтметра. Тогда

U_{AC} = \frac{\mathcal{E}R_V}{R_V + r},\quad U_{BC} = \frac{\mathcal{E}R_V}{R_V + R}.

С другой стороны, $\mathcal{E} = I_{AC} r = I_{BC} R$ .
Отсюда получаем, что

\frac{R}{r} = \frac{I_{AC}}{I_{BC}} = \frac{38}{11} = 3{,}45.

\frac{R_V + R}{R_V + r} = \frac{U_{AC}}{U_{BC}} = \frac{12{,}73}{6{,}82} = 1{,}87 \Rightarrow R_V + 3{,}45r = 1{,}87R_V + 1{,}87r

\Rightarrow r = 0{,}55R_V.

Подставим найденное значение:

U_{AC} = \frac{\mathcal{E}}{1 + 0{,}55} \Rightarrow \mathcal{E} = 1{,}55U_{AC} = 1{,}55 \cdot 12{,}73\ \mathrm{В} = 19{,}7\ \mathrm{В}.

r = \frac{\mathcal{E}}{I_{AC}} = \frac{19{,}7\ \mathrm{В}}{38\ \mathrm{мкА}} = 520\ \mathrm{кОм},\quad R = \frac{\mathcal{E}}{I_{BC}} = \frac{19{,}7\ \mathrm{В}}{11\ \mathrm{мкА}} = 1{,}79\ \mathrm{МОм}.

Вычисленные значения равны:
(вариант 1) $\mathcal{E}$ = 19,3 В; $r$ = 512 кОм; $R$ = 1,82 МОм.
(вариант 2) $\mathcal{E}$ = 19,7 В; $r$ = 520 кОм; $R$ = 1,79 МОм.

Примечание: значения, измеренные напрямую в авторской установке:

$\mathcal{E}$ = 19,2 В, $r$ = 507 кОм, $R$ = 1,80 МОм.

Общие формулы (их вывод от участников олимпиады не требуется):

\mathcal{E} = \frac{U_{AC}U_{BC}(I_{AC} - I_{BC})}{I_{AC}U_{BC} - I_{BC}U_{AC}},\quad r = \frac{U_{AC}U_{BC}(I_{AC} - I_{BC})}{I_{AC}\cdot(I_{AC}U_{BC} - I_{BC}U_{AC})},\quad R = \frac{U_{AC}U_{BC}(I_{AC} - I_{BC})}{I_{BC}\cdot(I_{AC}U_{BC} - I_{BC}U_{AC})}.

Оригинал в Архива: Ru22-R-9-E1_Sery_Yaschik_S_Bolshimi_Soprotivleniami.pdf