ВсОШ 2022, Регионален етап, 9. клас — Задача 5. Параллелограмм

• Линза собирающая, оптический центр — в точке пересечения диагоналей параллелограмма; источники и изображения лежат в плоскостях двойного фокуса; возможны два варианта расположения линзы (плоскости 2F через AB и CD либо через BC и AD), см. рис. 1 и рис. 2 решения.

9.5. Возможное решение. Обозначим точки буквами $A$, $B$, $C$, $D$, а также нанесем контуры параллелограмма и его диагоналей. Прямые проходящие через пары источник – изображение должны пересечься в оптическом центре линзы. Поэтому, пары определяются однозначно – это $A$–$C$ и $B$–$D$ (другие прямые параллельны и не пересекаются). Отсюда следует, что оптический центр линзы находится в точке $O$ пересечения диагоналей параллелограмма, а источники с изображениями расположены по разные стороны от него, следовательно, изображения действительные. Это позволяет сделать вывод о типе линзы – она собирающая.

Более того, можно утверждать, что источники и их изображения находятся в плоскостях, удаленных на двойное фокусное расстояние от плоскости линзы, поскольку диагонали параллелограмма делятся в точке пересечения пополам.

Однако по данным условия невозможно однозначно определить положение линзы. Возможны 2 варианта, так как плоскости двойного фокуса могут проходить через $AB$ и $CD$, а могут – через $BC$ и $AD$.

Построения при этом аналогичные. Через оптический центр проводим прямую, параллельную плоскостям двойного фокуса – это будет плоскость линзы. Далее, строим перпендикуляр к плоскости линзы через оптический центр. Получаем главную оптическую ось (ГОО). Пересечение ГОО со сторонами параллелограмма дает точки двойного фокуса ($2F$). Делим расстояния между оптическим центром и двумя фокусами пополам и находим фокусы.

Возможные построения приведены на рис. 1 и рис. 2.