ВсОШ 2022, Регионален етап, 9. клас — Задача 4. Кольцо

• $R_0 = \frac{\alpha\pi^2 r}{S};\ R_{\max} = \frac{\alpha\pi^2 r}{4S};\ L \approx 1{,}6r$
• • $R_0 = \frac{\alpha\pi^2 r}{S}$
• • $R_{\max} = \frac{\alpha\pi^2 r}{4S},\quad \varphi_0 = \frac{\pi}{\sqrt2} = 127^{\circ},\quad L = 2r\sin\left(\pi\left(1-\frac{1}{\sqrt2}\right)\right)\approx 1{,}6r$

9.4. Возможное решение.

1. Сопротивление всей проволоки $R_0$ не зависит от того, в какой именно точке мы её разрежем (все элементарные участки проволоки соединены друг с другом последовательно). Для упрощения разрежем кольцо в точке $A$, чтобы сначала найти сопротивления $R_0/2$ его двух симметричных половинок, а затем их сложить.

Поскольку удельное сопротивление проволоки изменяется по линейному закону (от угла $\varphi$ или от расстояния $l$ от точки $A$), для вычисления её сопротивления воспользуемся средним значением удельного сопротивления $\rho_{\text{ср}} = \alpha\pi/2$. Откуда $R_0/2 = \rho_{\text{ср}}\pi r/S = \alpha\pi^2 r/(2S)$, или

2. Подключим контакты к некоторым точкам $M$ и $N$ кольца. Получившаяся цепь теперь состоит из двух участков – $MAN$ и $MBN$, соединённых параллельно, и её сопротивление $R_{MN}$ определяется соотношением:

где $R_{MAN}$ и $R_{MBN}$ – сопротивления соответствующих участков, причём знаменатель этой формулы не зависит от того, в каких точках мы подключаемся к кольцу, и равен сопротивлению $R_0$ всей проволоки. Формулу (2) можно представить в виде:

Сопротивление кольца между этими точками $R_{MN}$ как функция величины $R_{MAN}$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вниз, и достигает максимума при $R_{MAN} = R_0/2$. Следовательно, сопротивление кольца максимально при $R_{MAN} = R_{MBN} = R_0/2$ и $R_{\max} = R_0/4 = \alpha\pi^2 r/(4S)$.

3. Разделить всю проволоку кольца на два участка с равными сопротивлениями можно бесконечным количеством способов. Например, присоединив контакты к точкам $A$ и $B$ мы получим тот же самый результат для $R_{\max}$. Но, по условию, расстояние между точками $M$ и $N$ должно быть минимальным. Для этого на малую дугу между точками $M$ и $N$ должна приходиться проволока с максимально возможным удельным сопротивлением. Это означает, что точки $M$ и $N$ должны располагаться симметрично относительно точки $B$. И сопротивление малых дуг $MB$ и $BN$ должно быть равно $R_0/4$. Пусть положение точек $M$ и $N$ определяется углом $\varphi_0$ (см. рисунок). Тогда среднее удельное сопротивление участка $BN$ по малой дуге равно $\rho_0 = \alpha(\pi + \varphi_0)/2$, а его сопротивление

С учётом уравнения (1) получим:

$\alpha\pi^2 r/(4S) = \alpha(\pi^2 - \varphi_0^2)r/(2S)$ или $\pi^2 = 2(\pi^2 - \varphi_0^2)$, откуда $\varphi_0 = \frac{\pi}{\sqrt2} = 127^{\circ}$.

Расстояние $L$ между точками $M$ и $N$ найдём как основание равнобедренного треугольника $MON$.