Съдържание

ВсОШ 2023, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 5. 11-E1 · Звук в сосуде

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2023

LVI Всероссийская олимпиада школьников по физике · Заключительный этап · Экспериментальный тур · 10 април 2023 г.

Внимание: Бележка към темата

Сохранены печатные расхождения источника: ключ «Насыщенный пар» обозначен №10-E2, хотя условие — №10-E1; единица x и знак на логарифмическом графике; отрицательный коэффициент k в ключе «Звук в сосуде»; значения и единицы таблиц «Солнечные батареи». Ключи сопоставлены по полному содержанию задач, печатные формулы и данные не исправлены.

Обложка

Министерство просвещения Российской Федерации

Центральная предметно-методическая комиссия Всероссийской олимпиады школьников по физике

LVI Всероссийская олимпиада школьников по физике

Заключительный этап

Экспериментальный тур

Санкт-Петербург, 2023 г.

Авторы задач

Комплект задач подготовлен центральной предметно-методической комиссией Всероссийской олимпиады школьников по физике

E-mail: physolymp@gmail.com

Авторы задач

9 класс

9-E1. Сергей Кармазин
9-E2. Иван Юдин

10 класс

10-E1. Юрий Черников
10-E2. Александр Аполонский, Максим Карманов

11 класс

11-E1. Александр Аполонский
11-E2. Виталий Шевченко

Условие

Оборудование

цилиндрическая полипропиленовая трубка
мерный цилиндр (объем 100 мл)
мерный цилиндр (объем 50 мл, диаметр 22,5 мм)
стакан с водой (200 мл)
компьютер с установленной программой анализа звукового спектра
встроенный в компьютер микрофон
миллиметровая бумага А4 для построения графиков.

Теоретическая справка

При распространении звуковых волн в газе частицы воздуха колеблются вдоль направления распространения звуковой волны (продольные волны). Это приводит к локальным изменениям плотности газа $\rho$ и его давления $p$ . В гармонических звуковых волнах, распространяющихся вдоль оси $Ox$ , изменение давления $\Delta p$ по отношению к равновесному зависит от координаты $x$ и от времени $t$ по закону

\Delta p(x,t)=p_0\cos(\omega t\pm kx),\qquad (1)

где $p_0$ — амплитуда колебаний давления.

Знаки «+» и «−» в аргументе косинуса соответствуют двум направлениям распространения волны («−» в положительном направлении, «+» в отрицательном). Частота колебаний $f$ , циклическая частота $\omega$ , волновое число $k$ , длина волны $\lambda$ , скорость звука $c$ связаны соотношениями

\omega=2\pi f,\ k=\frac{2\pi}\lambda,\ c=\lambda f.

Уравнение (1) представляет собой уравнение плоской бегущей волны. В случае взаимодействия или интерференции двух встречных плоских волн возникает колебательный процесс, который называется стоячей волной. При сложении уравнений для двух бегущих навстречу волн одинаковой амплитуды получается уравнение стоячей волны

\Delta p(x,t)=2p_0\cos(kx)\cos(\omega t).

Здесь выражение $2p_0\cos(kx)$ представляет собой амплитуду колебаний давления в точке пространства с координатой $x$ . В точках, координаты которых удовлетворяют условию $|\cos(kx)|=1$ или

\frac{2\pi x}\lambda=\pm n\pi,\ (n=0,1,2\ldots)\qquad (2)

амплитуда колебаний достигает максимального значения. Такие точки называются пучностями волны и их координаты равны $x_{\text{п}}=\pm n\frac\lambda2$ . В точках, для которых $\cos\left(\frac{2\pi x}\lambda\right)=0$ или

\frac{2\pi x}\lambda=\pm\left(n+\frac12\right)\pi,\ (n=0,1,2\ldots)\qquad (3)

амплитуда колебаний равна нулю. Такие точки называются узлами стоячей волны и их координаты равны $x_{\text{у}}=\pm\left(n+\frac12\right)\frac\lambda2$ . Отметим, что точки, соответствующие узлам давления являются пучностями перемещений частиц среды, в которой возбуждена стоячая волна. Наоборот, в точках с пучностями давлений наблюдаются узлы волны для перемещений частиц. Звуковые волны в газах обычно представляют сумму колебаний с множеством различных частот. Одной из основных характеристик звуковых колебаний является спектр. Под спектром понимают совокупность гармонических колебаний различных частот, на которые может быть разложено сложное колебательное движение. График спектра представляет собой функцию, описывающую зависимость амплитуды гармоник от их частот. Один из интересных объектов при изучении звуковых колебаний — резонатор в виде трубы, заполненной воздухом открытой с обоих концов, либо закрытой с одного конца. Воздух, ограниченный объемом трубы, является колебательной системой. Как любая колебательная система, выведенный из положения равновесия воздух внутри трубы совершает свободные колебания, называемые собственными или нормальными колебаниями. Частоты, на которых система совершает нормальные колебания, называются собственными частотами или нормальными модами. При возбуждении звуковых колебаний у открытого конца трубы воздух в трубе совершает колебания с частотами, соответствующими собственным. Спектр собственных колебаний зависит от того, открыт или закрыт второй край трубы. Если оба конца трубы открыты, то в трубе возникают стоячие волны, для которых узлы давления располагаются на концах трубы. Длина таких волн соответствует условию

L=n\frac\lambda2,\ (n=1,2,3,\ldots),

где $L$ — длина трубы. Для закрытой с одного конца трубы стоячие волны характеризуются пучностью давления (узлом для смещения частиц) на закрытом конце трубы и узлом давления на открытом. В этом случае связь между длиной трубы и длиной волны определяется выражением

L=n\frac\lambda4,\ (n=1,3,5,\ldots).

Для наглядности ниже представлены схемы первых гармоник для открытой и закрытой труб. Гармоника, соответствующая самой низкой собственной частоте (самой большой длине волны) называется основным (нулевым) обертоном, далее с увеличением частоты следуют первый, второй и так далее обертона. На схемах представлены стоячие волны смещения частиц. Буквы $N$ на схемах соответствуют нулевому смещению частиц (узлам стоячей волны смещения), буквы $A$ — максимальной амплитуде стоячей волны смещения.

Открытая труба; Закрытая труба. Основной резонанс; Первый обертон; Второй обертон; Третий обертон. Все восемь схем, узлы N и пучности A.

Рисунок 1

В нашей работе при анализе спектра звука в цилиндрических трубах предлагается использовать программу Audacity, установленную на Вашем компьютере. Для возбуждения звуковых колебаний следует продувать воздух вблизи открытого конца трубки. Делать нужно это так, чтобы получалось достаточно громко.

Проделайте несколько измерений для выявления лучших условий, дающих хорошую картину пиков. Старайтесь располагать цилиндры и трубку поблизости с компьютером, но не направляйте поток воздуха на сам компьютер. Для начала записи нажмите на характерную красную кнопку и остановите после 5-10 секунд непрерывного выдувания.

Для анализа спектра нужно выделить либо всю дорожку либо ее часть и выбрать в меню следующий пункт (см. рисунок 2):

Исходное окно Audacity: запись шума, две звуковые дорожки, панели и полный экран программы.

Рисунок 2

На рисунке 3 в качестве примера представлен спектр звукового сигнала, зарегистрированный при продувании воздуха вблизи открытого конца трубки, полученный с помощью этой программы.

На графике хорошо выделяются пики, соответствующие частотам стоячих волн в цилиндре. Чтобы понять каким значениям $n$ в формулах (2) и (3) они соответствуют, воспользуйтесь приблизительным значением скорости звука $c=340$ м/с.

Один из параметров, который вы можете регулировать для получения оптимальной картины — «Размер», который отвечает за степень дискретизации спектра: при уменьшении Размера пики сглаживаются и снижается точность определения положения их максимума, а при большом Размере появляются дополнительные пики, не соответствующие резонансным частотам.

Исходное окно Audacity Частотный анализ: полный спектр и все элементы окна, Курсор, Пик, Сетка, Экспорт, Обновить, Закрыть.

1. Создайте папку на рабочем столе, назвав ее, используя следующий шаблон: ААММ (АА — номер аудитории, например 03 или 12, ММ — номер вашего места, например 05 или 13). Получите спектр звуковых колебаний в трубке ПВХ, длина которой $L=(50{,}0\pm0{,}4)$ см, при открытых концах. Сохраните его, нажав на кнопку «Экспорт», в созданную вами папку, назвав файл по шаблону 1EX, где X — порядковый номер спектра в данном пункте задачи. Для этого пункта требуется выполнить серию измерений (не менее 3). Внимание! Сохраняйте только те спектры, которые будут использованы в решении. Все используемые вами данные должны быть подтверждены файлом со спектром, только они будут оценены. Используя представления о спектре стоячих волн, возникающих в трубке, уточните скорость звука в воздухе при температуре помещения. Строить график в этом и в следующем пунктах не нужно.

2. Повторите п.1 для трубки с одним закрытым концом. Спектры для этого пункта сохраняйте по шаблону 2EX, где X — порядковый номер спектра в данном пункте задачи. Сравните полученные результаты и оцените их погрешность. Для этого пункта требуется выполнить серию измерений (не менее 3).

3. Исследуйте изменение спектра стоячих волн, возникающих в мерном цилиндре (100 мл) в зависимости от объёма воды в нём. Для этого рассматривайте только один из пиков, соответствующий основному резонансу. Спектры для этого пункта сохраняйте по шаблону 3EX, где X — порядковый номер спектра в данном пункте задачи. Предложите график зависимости измеряемых величин, по данным которого определите высоту $H$ и внутренний диаметр $D$ мерного цилиндра и оцените погрешность полученных результатов. Измерения проводите в пределах шкалы мерного цилиндра, не менее 5 значений.

4. Вообще говоря, частоты стоячих волн в цилиндрах зависят не только от длины цилиндра, но и от его диаметра. Узлы и пучности располагаются не точно по краям цилиндров. Эмпирические исследования показывают, что с неплохой точностью эффективная длина цилиндра $L_{\text{эфф}}$ может быть получена при использовании формулы

L_{\text{эфф}}=L+\beta\cdot D,

где $D$ — внутренний диаметр цилиндра, $\beta$ — безразмерный коэффициент.

Исследуйте зависимость $L_{\text{эфф}}$ для мерного цилиндра объёмом 50 мл при разных объёмах воды в нём. Для этого рассматривайте только один из пиков, соответствующий основному резонансу. Спектры для этого пункта сохраняйте по шаблону 4EX, где X — порядковый номер спектра в данном пункте задачи. Измерения проводите в пределах шкалы мерного цилиндра, не менее 5 значений. Оцените погрешность полученных величин.

5. Используя полученные экспериментальные данные, постройте график зависимости, по которому определите значение $\beta$ в формуле для $L_{\text{эфф}}$ . В вычислениях используйте полученную ранее скорость звука.

Если же выполнить первый пункт не удалось, то примите скорость звука равной $c=340$ м/с. Укажите это в решении.

Решение

Задача №11-E1. Звук в сосуде

В таблице представлены резонансные частоты спектра в открытой трубе для соответствующего номера гармоники $n$ . Рассчитан шаг между соседними пиками, его среднее значение, среднеквадратичное отклонение и относительная погрешность.

$n$	$f_1$ , Гц	$f_2$ , Гц	$f_3$ , Гц	$f$ , Гц	$\Delta f_{\text{открыт}}$ , Гц
1	336	338	333	336	—
2	673	672	675	673	338
3	1016	1013	1006	1012	338
4	1348	1339	1348	1345	333
5	1695	1699	1698	1697	352
6	2037	2017	2027	2027	330
Среднее					338
$\Delta$					6
$\varepsilon_f$					2 %

Скорость звука для открытой трубки 50 см найдем, используя средний шаг резонансных частот:

L=n\frac\lambda2=\frac{n\cdot c}{2f}\quad\Rightarrow\quad c=2L\cdot\frac fn=2L\cdot\Delta f.

c_{\text{открыт}}=(338\pm10)\ \text{м/с},

где погрешность $\varepsilon_c=\varepsilon_L+\varepsilon_{\Delta f}=3\ \%$ .

$n$	$f_1$ , Гц	$f_2$ , Гц	$f_3$ , Гц	$f$ , Гц	$\Delta f_{\text{закрыт}}$ , Гц
2	506	506	511	508	—
3	840	845	851	845	338
4	1205	1179	1190	1191	346
5	1545	1550	1540	1545	354
6	1873	1879	1884	1879	334
7	2207	2218	2218	2214	336
Среднее					341
$\Delta$					6
$\varepsilon_f$					2 %

Используя те же рассуждения, найдем скорость звука и для закрытой трубки:

c_{\text{закрыт}}=(341\pm10)\ \text{м/с}.

Добавляя в цилиндр воду, будем исследовать зависимость основной $(n=1)$ резонансной частоты $f$ от объёма воды $V$ в сосуде.

L=n\frac c{4f}=\frac c{4f},\quad L=L_0-\frac VS,

где $L_0$ — высота мерного цилиндра, $S$ — площадь внутреннего поперечного сечения.

\frac1f(V)=\frac{4L_0}c-\frac4{cS}\cdot V.

Результаты измерений и пересчетов представлены в таблице:

$V$ , мл	0	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100
$f$ , Гц	391	423	446	487	528	576	630	697	786	914	1036
$1/f$ , мс	2,56	2,37	2,24	2,05	1,89	1,74	1,59	1,44	1,27	1,09	0,96

Построим график зависимости $\frac1f(V)$ и по нему определим высоту $L_0$ и внутренний диаметр $D$ цилиндра. Погрешность определения объёма воды примем равной цене деления прибора $\Delta V=1$ мл, относительная погрешность частоты оказалась равна $\varepsilon_f=2\ \%$ .

Коэффициент наклона $k=(-16{,}0\pm0{,}8)$ с/м $^3$ . Относительная погрешность — $\varepsilon_k=5\ \%$ , для скорости звука из предыдущего эксперимента $\varepsilon_c=3\ \%$ .

k=\frac4{cS},\ S=\frac{\pi d^2}4\quad\Rightarrow\quad d=\sqrt{\frac{16}{\pi ck}};\quad\varepsilon_d=\frac12(\varepsilon_k+\varepsilon_c)=4\ \%.

d=(31\pm1)\ \text{мм}.

График 1/f от V: все экспериментальные точки, погрешности, прямые, мс и мл.

Для данной прямой $b=(2{,}55\pm0{,}05)$ мс, значит $\varepsilon_b=2\ \%$ .

b=\frac{4L_0}c\quad\Rightarrow\quad L_0=\frac{bc}4;\quad\varepsilon_{L_0}=\varepsilon_b+\varepsilon_c=5\ \%.

L_0=(21{,}7\pm1{,}1)\ \text{см}.

Под $L_{\text{эфф}}$ понимаем длину трубы, соответствующую основной резонансной частоте как

L_{\text{эфф}}=\frac\lambda4=\frac c{4f}.

Действительную же высоту цилиндра 50 мл определим, долив до краев известный объем воды из меньшего цилиндра. Зная внутренний диаметр, найдем реальную высоту цилиндра:

h\cdot\frac{\pi D^2}4=V_0+\Delta V,

где $V_0=50$ мл, $\Delta V=30$ мл. Поскольку в определении объёма мы могли ошибиться дважды на 1 мл, значит относительная погрешность $\varepsilon_h=\varepsilon_V=\frac2{80}=2{,}5\ \%\approx3\ \%$ . Получается $h_0=(17{,}1\pm0{,}5)$ см.

Теперь, добавляя некоторый объём воды в цилиндр, мы можем вычислить реальную высоту воздушного столба, в котором возбуждаются звуковые колебания:

h=h_0-\frac{4V}{\pi D^2}.

Запишем связь частоты $f$ и высоты $h$ :

\frac c{4f}=h+\beta D.

Проведем измерения основных резонансных частот $f$ для различных высот $h$ и построим график зависимости $\frac c{4f}(h)$ . Для расчетов будем применять значение скорости звука в воздухе из полученных ранее результатов $(c=341$ м/с). Относительная погрешность величины $\frac c{4f}(h)$ можно считать равной относительной погрешности $c$ $\varepsilon_{\frac c{4f}}=\varepsilon_c=3\ \%$ .

$V$ , мл	$f$ , Гц	$h$ , см	$c/(4f)$ , см
0	463	17,1	18,4
10	530	15,0	16,1
20	605	12,9	14,1
30	706	10,7	12,1
40	885	8,6	9,6
50	1105	6,5	7,7

График c/(4f) от h: экспериментальные точки, прямая и все деления осей.

Учитывая, что теоретически мы ожидаем коэффициент наклона $k=1$ , то погрешность определения $b$ составит по графику $\Delta b=0{,}25$ см

Величину $\beta$ определим по коэффициенту $b$ данной линейной функции:

\beta=\frac bD=\frac{(1{,}20\pm0{,}25)\ \text{см}}{2{,}45\ \text{см}}=0{,}5\pm0{,}1.

Оригинал в Архива: Ru23-E.pdf