Съдържание

ВсОШ 2023, Заключителен етап — Задача 1. 9-Т1 · Отрыв

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2023

LVI Всероссийская олимпиада школьников по физике — Заключительный этап, теоретический тур — Санкт-Петербург, 2023

Внимание: Бележка към темата

Полный исходный 58-страничный сборник: 15 целых задач 9–11 классов, 34 номерованных запроса и 2 ненумерованные задачи; все напечатанные возможные решения, альтернативные методы и заключительные примечания. Исходные несогласованности сохранены и отмечены отдельно. Баллы, критерии и продолжительность в данном источнике не напечатаны. Для построений и рисунков используйте исходный PDF с родным масштабом.

Титул, авторы и материалы исходного сборника

Министерство просвещения Российской Федерации. Центральная предметно-методическая комиссия Всероссийской олимпиады школьников по физике. LVI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Санкт-Петербург, 2023 г.

Комплект задач подготовлен центральной предметно-методической комиссией Всероссийской олимпиады школьников по физике. E-mail: physolymp@gmail.com.

Авторы задач

9-Т1. Иван Юдин
9-Т2. Александр Евсеев
9-Т3. Денис Рубцов
9-Т4. Антон Вергунов
9-Т5. Антон Вергунов, Андрей Уймин
10-Т1. Александр Аполонский
10-Т2. Вадим Ерин
10-Т3. Александр Аполонский
10-Т4. Андрей Уймин
10-Т5. Андрей Уймин
11-Т1. Александр Аполонский
11-Т2. Григорий Расторгуев
11-Т3. Андрей Уймин
11-Т4. Андрей Уймин
11-Т5. Андрей Уймин

Исходные задания и ключ датированы 12 апреля 2023 г. В исходном ключе заголовок «Возможные решения». Сохранены родные группы 9, 10 и 11 классов и исходные обозначения каждой целой задачи.

Условие

На гладкую горизонтальную поверхность положили маленький шарик массой $m$ . К нему прикрепили легкую нерастяжимую нить, переброшенную через легкий блок пренебрежимо малого радиуса, на другом конце которой подвесили груз массой $M$ (см. рис.). Систему отпустили из состояния покоя (изображенного на рисунке пунктирной линией). В некоторый момент времени, когда нить наклонена к горизонту под углом $\alpha$ , шарик отрывается от поверхности, а ускорение груза в этот момент времени равно нулю. Трение в оси блока отсутствует.

Native original pulley/ball/hanging mass diagram, complete g, m/M, alpha/beta, dashed initial positions, floor and rope.

1 Найдите отношение $m/M$ .

2 Найдите $\sin\beta$ угла нити к горизонту в начальный момент времени.

Решение

1. Введём систему координат $xy$ так, как показано на рисунке. Пусть $\vec a$ — ускорение шарика в момент его отрыва от поверхности. Запишем второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось $y$ , принимая во внимание, что в момент отрыва $N=0$ :

ma_y=mg-T\sin\alpha=0.\qquad (1)

Запишем второй закон Ньютона для груза $M$ в проекции на ось $y$ , принимая во внимание, что груз не ускоряется:

Ma_M=Mg-T=0.\qquad (2)

Исключая из уравнений (1) и (2) силу натяжения $T$ , находим отношение масс:

\frac mM=\sin\alpha.

2. Пусть $v$ и $u$ — скорости шарика и груза соответственно в рассматриваемый момент, а $h$ — высота блока над поверхностью.

Поскольку нить нерастяжима, проекция скорости шарика $v$ на ось $z$ равна $u$ :

v=\frac u{\cos\alpha}.\qquad (3)

Поскольку трения в системе нет, выполняется закон сохранения механической энергии:

\frac{mv^2}2+\frac{Mu^2}2=-Mg\Delta l,\qquad (4)

где $\Delta l=h(1/\sin\alpha-1/\sin\beta)$ — изменение длины наклонного участка нити. Подставляя отношение $m/M$ и соотношение (3) в уравнение (4), получим:

\frac{mv^2}2\left(1+\frac{\cos^2\alpha}{\sin\alpha}\right)=\frac{mgh}{\sin\alpha}\left(\frac1{\sin\beta}-\frac1{\sin\alpha}\right),

откуда:

\frac1{\sin\beta}=\frac1{\sin\alpha}+\frac{v^2(\sin\alpha+\cos^2\alpha)}{2gh}.\qquad (5)

Таким образом, задача сводится к определению безразмерного параметра $gh/v^2$ , для нахождений которого проанализируем динамику шарика.

Запишем второй закон Ньютона для шарика в проекции на горизонтальную ось $x$ :

ma_x=ma=T\cos\alpha\ \Rightarrow\ a=\frac{T\cos\alpha}m=\frac{g\cos\alpha}{\sin\alpha}.\qquad (6)

Введём ось $z$ , направленную вдоль наклонного участка нити от шарика к блоку (т.е образующую угол $\alpha$ с горизонтом). Проекция ускорения шарика на ось равняется

a_z=a\cos\alpha=\frac{g\cos^2\alpha}{\sin\alpha}.\qquad (7)

Перейдём в систему отсчёта точки $A$ наклонного участка нити, в которой он касается блока. Ускорение шарика $\vec a_{\text{отн}}$ в данной системе отсчёта равняется:

\vec a_{\text{отн}}=\vec a-\vec a_A.

Поскольку ускорение груза равняется нулю — тангенциальное ускорение точки $A$ также равняется нулю, откуда следует, что полное ускорение точки $A$ направлено перпендикулярно наклонному участку нити. Тогда в рассматриваемой системе отсчёта:

a_{\text{отн}z}=a_z.

В системе отсчёта точки $A$ шарик движется по окружности радиусом $l=h/\sin\alpha$ , равным длине наклонного участка нити, со скоростью $v_\perp=v\sin\alpha$ , равной проекции скорости шарика на ось, перпендикулярную оси $z$ . Поэтому из выражения для центростремительного ускорения получим:

a_{\text{отн}z}=\frac{v_\perp^2}l=\frac{v^2\sin^3\alpha}h.\qquad (8)

Приравнивая (7) и (8), находим:

\frac{gh}{v^2}=\frac{\sin^4\alpha}{\cos^2\alpha}.\qquad (9)

Подставляя (9) в (5), получим:

\frac1{\sin\beta}=\frac1{\sin\alpha}+\frac{\cos^2\alpha(\sin\alpha+\cos^2\alpha)}{2\sin^4\alpha},\qquad (10)

откуда находим угол $\beta$ :

\sin\beta=\frac{2\sin^4\alpha}{\sin\alpha+\sin^3\alpha+\cos^4\alpha}.

Native complete force and coordinate diagram, x/y, m/M, alpha/beta, rope, dashed positions, T, ma, mg/Mg arrows.

Оригинал в Архива: Ru23-T.pdf · решение от архива: Ru23-T.pdf