Съдържание

ВсОШ 2023, Заключителен етап — Задача 2. 9-Т2 · Аквариум на пружинах

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2023

LVI Всероссийская олимпиада школьников по физике — Заключительный этап, теоретический тур — Санкт-Петербург, 2023

Внимание: Бележка към темата

Полный исходный 58-страничный сборник: 15 целых задач 9–11 классов, 34 номерованных запроса и 2 ненумерованные задачи; все напечатанные возможные решения, альтернативные методы и заключительные примечания. Исходные несогласованности сохранены и отмечены отдельно. Баллы, критерии и продолжительность в данном источнике не напечатаны. Для построений и рисунков используйте исходный PDF с родным масштабом.

Титул, авторы и материалы исходного сборника

Министерство просвещения Российской Федерации. Центральная предметно-методическая комиссия Всероссийской олимпиады школьников по физике. LVI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Санкт-Петербург, 2023 г.

Комплект задач подготовлен центральной предметно-методической комиссией Всероссийской олимпиады школьников по физике. E-mail: physolymp@gmail.com.

Авторы задач

9-Т1. Иван Юдин
9-Т2. Александр Евсеев
9-Т3. Денис Рубцов
9-Т4. Антон Вергунов
9-Т5. Антон Вергунов, Андрей Уймин
10-Т1. Александр Аполонский
10-Т2. Вадим Ерин
10-Т3. Александр Аполонский
10-Т4. Андрей Уймин
10-Т5. Андрей Уймин
11-Т1. Александр Аполонский
11-Т2. Григорий Расторгуев
11-Т3. Андрей Уймин
11-Т4. Андрей Уймин
11-Т5. Андрей Уймин

Исходные задания и ключ датированы 12 апреля 2023 г. В исходном ключе заголовок «Возможные решения». Сохранены родные группы 9, 10 и 11 классов и исходные обозначения каждой целой задачи.

Условие

У кубического тонкостенного аквариума $(a\times a\times a)$ разбилась боковая стенка. Новую стенку $(a\times a)$ решили прижать пружинными фиксаторами. Первую пружину жесткостью $2k$ закрепили у середины верхнего ребра новой стенки, а вторую пружину жесткостью $k$ — у середины нижнего ребра. После этого аквариум придвинули к вертикальной стене (см. рис.).

Все поверхности в местах контакта новой стенки с аквариумом плоские и гладкие. Новая стенка жесткая, полностью перекрывает прилегающие боковые стенки и дно, и параллельна плоскости стены. Сила трения в месте контакта стенки со столом пренебрежимо мала. Длины пружин в недеформированном состоянии одинаковы.

Во время заполнения аквариум считать неподвижным, а вода не просачивается в местах контакта стенки с аквариумом. Ускорение свободного падения $g$ считать известным.

Complete native three-view aquarium and detached replacement wall with upper/lower springs and supporting wall/floor.

1 Каким должно быть минимальное сжатие пружин, чтобы аквариум можно было наполнить водой плотностью $\rho$ до краёв?

2 Каким станет минимальное сжатие пружин, если их поменять местами?

Решение

1. Метод 1:

Воспользуемся методом виртуальных перемещений для определения сил.

Для этого определим изменение потенциальной энергии равное работе силы тяжести. Представим, что жидкость переходит из верхнего слоя в образовавшееся пространство, тогда $A_g=-\Delta\Pi\leq-A_F$ . Масса перешедшей жидкости $m=\rho a^2\delta x$ .

Для равнодействующей сил давления получаем:

(2k\Delta x+k\Delta x)\delta x\geq(\rho a^2\delta x)g\frac a2\ \Rightarrow\ k\Delta x\geq\frac{\rho ga^3}6.

Для моментов сил давления относительно верхнего ребра получаем, что центр тяжести слоя жидкости опускается на $2a/3$ :

k\Delta x\delta x\geq\frac{\rho a^2\delta x}2g\frac{2a}3\ \Rightarrow\ k\Delta x\geq\frac{\rho ga^3}3.

Для моментов сил давления относительно нижнего ребра получаем, что центр тяжести слоя жидкости опускается на $a/3$ :

2k\Delta x\delta x\geq\frac{\rho a^2\delta x}2g\frac a3\ \Rightarrow\ k\Delta x\geq\frac{\rho ga^3}{12}.

Метод 2:

В заполненном аквариуме на боковую стенку действует сила давления воды $F_P=\frac12\rho ga^3$ . Для решения необходимо определить точку приложения этой силы. Поскольку по горизонтали давление воды на одном и том же уровне одинаково, очевидно, что эта точка будет находиться на срединной вертикали.

По вертикали давление распределяется линейно от нуля наверху до $\rho ga$ внизу.

Известно, что центр тяжести треугольника расположен в точке пересечения его медиан.

Используя аналогию распределения давления по вертикали в нашем случае с распределением по высоте массы полосок одинаковой ширины, на которые параллельно основанию мысленно разрезан равнобедренный треугольник, можно утверждать, что точка приложения силы находится на расстоянии $a/3$ от дна сосуда.

Метод 3:

Строгий математический расчёт силы и моментов сил можно опровести с помощью интегрирования.

Определим давление как функцию $y$ — глубины от поверхности жидкости: $p(y)=\rho gy$ .

Суммарная сила давления воды:

F_P=\int_0^a p(y)a\,dy=\frac{\rho ga^3}2.

Момент силы относительно верхней кромки:

M_{\text{в}}=\int_0^a yp(y)a\,dy=\frac{\rho ga^4}3.

Момент силы относительно нижней кромки:

M_{\text{н}}=\int_0^a(a-y)p(y)a\,dy=\frac{\rho ga^4}6.

Условия для отсутствия протечек можно записать в виде неравенств:

$3k\Delta x\geq\rho ga^3/2$ (условие на направление результирующей силы);
$k\Delta x\cdot a\geq\rho ga^4/3$ (отсутствие поворота вокруг верхнего ребра);
$2k\Delta x\cdot a\geq\rho ga^4/6$ (отсутствие поворота вокруг нижнего ребра).

Очевидно, неравенство $k\Delta x\geq\rho ga^3/3$ наиболее жесткое.

Откуда $\Delta x_{\min}=\rho ga^3/(3k)$ .

2. Отметим, что, поскольку пружины сжимаются одинаково, суммарная сила, с которой они будут давить на стенку аквариума будет в 2 раза больше силы давления воды.

Если пружины в условии поменять местами, последние 2 условия примут вид:

$3k\Delta x\geq\rho ga^3/2$ (условие на направление результирующей силы);
$2k\Delta x\cdot a\geq\frac13\rho ga^3$ (отсутствие поворота вокруг верхнего ребра);
$k\Delta x\cdot a\geq\frac16\rho ga^3$ (отсутствие поворота вокруг нижнего ребра).

Откуда $\Delta x_{\min}=\rho ga^3/(6k)$ . При этом суммарная сила, с которой пружины будут давить на стенку аквариума в точности совпадет с силой давления.

Примечание к источнику: на странице 18 в двух неравенствах для моментов после перестановки пружин справа напечатано $a^3$ , тогда как на странице 17 соответствующие моменты содержат $a^4$ . Сохранены исходные записи и исходный ответ.

Both native virtual-displacement aquarium diagrams with a/3 and2a/3 heights, shaded layers, springs, walls and dashed construction.

Native replacement-wall force application diagram, complete square, 2F/F cross symbols, P dot, a/2 and a/3 dimension arrows.

Оригинал в Архива: Ru23-T.pdf · решение от архива: Ru23-T.pdf