Съдържание

ВсОШ 2023, Заключителен етап — Задача 3. 9-Т3 · Холодильник

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2023

LVI Всероссийская олимпиада школьников по физике — Заключительный этап, теоретический тур — Санкт-Петербург, 2023

Внимание: Бележка към темата

Полный исходный 58-страничный сборник: 15 целых задач 9–11 классов, 34 номерованных запроса и 2 ненумерованные задачи; все напечатанные возможные решения, альтернативные методы и заключительные примечания. Исходные несогласованности сохранены и отмечены отдельно. Баллы, критерии и продолжительность в данном источнике не напечатаны. Для построений и рисунков используйте исходный PDF с родным масштабом.

Титул, авторы и материалы исходного сборника

Министерство просвещения Российской Федерации. Центральная предметно-методическая комиссия Всероссийской олимпиады школьников по физике. LVI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Санкт-Петербург, 2023 г.

Комплект задач подготовлен центральной предметно-методической комиссией Всероссийской олимпиады школьников по физике. E-mail: physolymp@gmail.com.

Авторы задач

9-Т1. Иван Юдин
9-Т2. Александр Евсеев
9-Т3. Денис Рубцов
9-Т4. Антон Вергунов
9-Т5. Антон Вергунов, Андрей Уймин
10-Т1. Александр Аполонский
10-Т2. Вадим Ерин
10-Т3. Александр Аполонский
10-Т4. Андрей Уймин
10-Т5. Андрей Уймин
11-Т1. Александр Аполонский
11-Т2. Григорий Расторгуев
11-Т3. Андрей Уймин
11-Т4. Андрей Уймин
11-Т5. Андрей Уймин

Исходные задания и ключ датированы 12 апреля 2023 г. В исходном ключе заголовок «Возможные решения». Сохранены родные группы 9, 10 и 11 классов и исходные обозначения каждой целой задачи.

Условие

В тонкостенном цилиндрическом сосуде внутреннего радиуса $R$ под поршнем находится столб воды высотой $h_1$ при температуре $t_0=0\,{}^\circ\mathrm C$ . Поршень и дно цилиндра теплоизолированные. Мощность тепловых потерь через боковые стенки пропорциональна площади контакта и разности температур содержимого сосуда и окружающей среды $N=\alpha\cdot S\Delta t$ , где $\alpha$ известная константа. Цилиндр вертикально ставят в холодильник, начальная температура в котором равна $t_1<0\,{}^\circ\mathrm C$ . Далее температуру в холодильнике изменяют так, что поршень цилиндра перемещается с постоянной скоростью. Лёд, образующийся в цилиндре, не мешает свободному движению поршня. Более того, лёд не всплывает над поверхностью воды, а упирается в поршень, будучи полностью погружённым в воду, время от времени отрываясь от стенок сосуда. Удельная теплота плавления льда $\lambda$ , плотности воды $\rho_{\text{в}}$ , плотность льда $\rho_{\text{л}}$ .

1 Определите в какую сторону и с какой скоростью $v$ перемещается поршень.

2 Найдите в течение какого промежутка времени $\tau_{\max}$ продолжается такое движение.

3 Установите зависимость температуры $t$ в холодильнике от времени $\tau$ в промежутке времени $[0,\tau_{\max}]$ . Выразите её через $h_1,t_0,t_1,v,\tau$ .

4 Найдите температуру в момент времени $\tau_{\max}$ . Выразите через $t_0,t_1,\rho_{\text{в}},\rho_{\text{л}}$ .

Решение

1. Пусть $N$ — мощность тепловых потерь. Благодаря ему за малое время $\Delta\tau$ кристаллизуется $\Delta m$ льда:

N\Delta\tau=\Delta m\lambda.

В жидком состоянии эта масса занимала объём $\Delta V_{\text{в}}$ , а в твёрдом $\Delta V_{\text{л}}$ :

\Delta m=\rho_{\text{в}}\Delta V_{\text{в}}=\rho_{\text{л}}\Delta V_{\text{л}}.

Следовательно, изменение объёма содержимого благодаря кристаллизации $\Delta m$ льда

\Delta V=\Delta V_{\text{л}}-\Delta V_{\text{в}}=\frac{\Delta m}{\rho_{\text{л}}}-\frac{\Delta m}{\rho_{\text{в}}}=\Delta m\frac{\rho_{\text{в}}-\rho_{\text{л}}}{\rho_{\text{в}}\rho_{\text{л}}}>0.

То есть поршень поднялся вверх. Мощность тепловых потерь через боковую поверхность цилиндра пропорциональна площади этой поверхности и разности температур воды и окружающей среды:

N=\alpha\cdot h\cdot2\pi R(t_0-t).

Скорость подъёма поршня

v=\frac{\Delta h}{\Delta\tau}=\frac{\Delta V}{\pi R^2\Delta\tau}=\frac{\Delta m(\rho_{\text{в}}-\rho_{\text{л}})}{\Delta\tau\rho_{\text{в}}\rho_{\text{л}}\pi R^2}=\frac{N(\rho_{\text{в}}-\rho_{\text{л}})}{\lambda\rho_{\text{в}}\rho_{\text{л}}\pi R^2}=\frac{2\alpha(\rho_{\text{в}}-\rho_{\text{л}})}{\lambda\rho_{\text{в}}\rho_{\text{л}}R}\cdot h(t_0-t).

Так как скорость постоянна, используем выражение для неё в начальный момент времени $v=C\cdot h(t_0-t)=C\cdot h_1(t_0-t_1)$ . Следовательно:

v=\frac{2\alpha(\rho_{\text{в}}-\rho_{\text{л}})}{\lambda\rho_{\text{в}}\rho_{\text{л}}R}\cdot h_1(t_0-t_1).

2. Равномерное движение поршня может продолжаться вплоть до кристаллизации всей воды. Максимальное изменение объёма системы

\Delta V_0=\Delta m_0\frac{\rho_{\text{в}}-\rho_{\text{л}}}{\rho_{\text{в}}\rho_{\text{л}}}=\pi R^2h_1\frac{\rho_{\text{в}}-\rho_{\text{л}}}{\rho_{\text{л}}}.

Искомая продолжительность процесса

\tau_{\max}=\frac{\Delta V_0}{\pi R^2v}=\frac{\lambda\rho_{\text{в}}R}{2\alpha(t_0-t_1)}.

3. Из условий $h(t_0-t)=h_1(t_0-t_1)$ и $h(\tau)=h_1+v\tau$ можно получить искомую зависимость

t=t_0-(t_0-t_1)\frac{h_1}{h_1+v\tau}.

4. Подставим выражение для $\tau_{\max}$ в закон изменения температуры и найдём её значение в конечный момент времени:

t_{\text{к}}=t_0-(t_0-t_1)\frac{\rho_{\text{л}}}{\rho_{\text{в}}}.

Оригинал в Архива: Ru23-T.pdf · решение от архива: Ru23-T.pdf