Съдържание

ВсОШ 2023, Заключителен етап — Задача 4. 9-Т4 · Постоянный ток

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2023

LVI Всероссийская олимпиада школьников по физике — Заключительный этап, теоретический тур — Санкт-Петербург, 2023

Внимание: Бележка към темата

Полный исходный 58-страничный сборник: 15 целых задач 9–11 классов, 34 номерованных запроса и 2 ненумерованные задачи; все напечатанные возможные решения, альтернативные методы и заключительные примечания. Исходные несогласованности сохранены и отмечены отдельно. Баллы, критерии и продолжительность в данном источнике не напечатаны. Для построений и рисунков используйте исходный PDF с родным масштабом.

Титул, авторы и материалы исходного сборника

Министерство просвещения Российской Федерации. Центральная предметно-методическая комиссия Всероссийской олимпиады школьников по физике. LVI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Санкт-Петербург, 2023 г.

Комплект задач подготовлен центральной предметно-методической комиссией Всероссийской олимпиады школьников по физике. E-mail: physolymp@gmail.com.

Авторы задач

9-Т1. Иван Юдин
9-Т2. Александр Евсеев
9-Т3. Денис Рубцов
9-Т4. Антон Вергунов
9-Т5. Антон Вергунов, Андрей Уймин
10-Т1. Александр Аполонский
10-Т2. Вадим Ерин
10-Т3. Александр Аполонский
10-Т4. Андрей Уймин
10-Т5. Андрей Уймин
11-Т1. Александр Аполонский
11-Т2. Григорий Расторгуев
11-Т3. Андрей Уймин
11-Т4. Андрей Уймин
11-Т5. Андрей Уймин

Исходные задания и ключ датированы 12 апреля 2023 г. В исходном ключе заголовок «Возможные решения». Сохранены родные группы 9, 10 и 11 классов и исходные обозначения каждой целой задачи.

Условие

В упрощённой модели источник постоянного тока состоит из соединённых последовательно идеального источника постоянного напряжения $U_0$ и резистора с сопротивлением $r$ (см. рис. 1). При подключении источника постоянного тока в цепь, содержащую резисторы с сопротивлением $R\ll r$ , можно считать, что сила тока $I_0\approx U_0/r$ .

Электрическая цепь представляет собой проволочную сетку, которая состоит из звеньев одинакового сопротивления $R$ . Три звена заменены на одинаковые источники постоянного тока $I_0$ (см. рис. 2).

Найдите, через какие звенья цепи течёт минимальный ток, и чему равна его сила $I_{\min}$ . Ответ выразите только через $I_0$ .

Native Figures1/2: constant-current source model with U0/r/equality/I0 and complete triangular resistor network/current-source arrow orientations/captions.

Решение

Первое решение:

Заметим, что схема переходит сама в себя при повороте на $120^\circ$ вокруг центрального узла. У всех источников постоянного тока один узел общий, а вторые узлы подключены к эквипотенциальным точкам. Значит через источники протекают одинаковые токи, при этом равные $I_0$ , поскольку $R\ll r$ .

Также из симметрии следует, что должны быть равны и токи $I_1$ , втекающие в центральный узел.

Алгебраическая сумма токов для центрального узла равна 0, значит $I_1=I_0$ .

Расставим токи, текущие через элементы цепи, находящиеся в вершине $A$ , в силу симметрии такие же токи протекают через элементы, находящиеся в вершинах $B$ и $C$ .

Пусть через каждый из оставшихся элементов цепи протекает некоторый ток $I_2$ . Так как схема симметрична, потенциалы узлов $A$ и $C$ равны, тогда разность потенциалов $\varphi_C-\varphi_A=0$ . Или

IR-I_2R+IR=0\ \Rightarrow\ I_2=2I.

Тогда

I_0=I+2I+2I=5I\ \Rightarrow\ I_{\min}=I=\frac{I_0}5.

Второе решение:

Расставим токи по перемычкам цепи $I_1,I_2,I_3,I_4,I_5$ . Потенциал в центральной точке цепи примем равным нулю. Запишем разность потенциалов между узлами 3 и 1:

\Delta\varphi_{13}=RI_3=RI_2+RI_2=2RI_2\ \Rightarrow\ I_3=2I_2.

В силу симметрии цепи $\varphi_2=\varphi_3$ (при повороте на $120^\circ$ цепь переходит сама в себя) поэтому

\Delta\varphi_{12}=\Delta\varphi_{13}\ \Rightarrow\ RI_1=RI_3\ \Rightarrow\ I_1=I_3.

Запишем закон сохранения заряда для узла 1:

I_0=I_1+I_2+I_3=2I_3+I_2=5I_2\ \Rightarrow\ I_2=\frac{I_0}5.

Native key Figures1/2, both complete A/B/C triangular networks, all I0/I1 arrows and captions.

Native key Figures3/4, both complete networks, all A/B/C,I/2I/I0 arrows/source orientations and captions.

Native key Figure5 complete numbered-node network with1/2/3, I1–I5/I0, current-source orientations, every directed current and caption.

Оригинал в Архива: Ru23-T.pdf · решение от архива: Ru23-T.pdf