Съдържание

ВсОШ 2023, Заключителен етап — Задача 5. 9-Т5 · Угловая высота камня

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2023

LVI Всероссийская олимпиада школьников по физике — Заключительный этап, теоретический тур — Санкт-Петербург, 2023

Внимание: Бележка към темата

Полный исходный 58-страничный сборник: 15 целых задач 9–11 классов, 34 номерованных запроса и 2 ненумерованные задачи; все напечатанные возможные решения, альтернативные методы и заключительные примечания. Исходные несогласованности сохранены и отмечены отдельно. Баллы, критерии и продолжительность в данном источнике не напечатаны. Для построений и рисунков используйте исходный PDF с родным масштабом.

Титул, авторы и материалы исходного сборника

Министерство просвещения Российской Федерации. Центральная предметно-методическая комиссия Всероссийской олимпиады школьников по физике. LVI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Санкт-Петербург, 2023 г.

Комплект задач подготовлен центральной предметно-методической комиссией Всероссийской олимпиады школьников по физике. E-mail: physolymp@gmail.com.

Авторы задач

9-Т1. Иван Юдин
9-Т2. Александр Евсеев
9-Т3. Денис Рубцов
9-Т4. Антон Вергунов
9-Т5. Антон Вергунов, Андрей Уймин
10-Т1. Александр Аполонский
10-Т2. Вадим Ерин
10-Т3. Александр Аполонский
10-Т4. Андрей Уймин
10-Т5. Андрей Уймин
11-Т1. Александр Аполонский
11-Т2. Григорий Расторгуев
11-Т3. Андрей Уймин
11-Т4. Андрей Уймин
11-Т5. Андрей Уймин

Исходные задания и ключ датированы 12 апреля 2023 г. В исходном ключе заголовок «Возможные решения». Сохранены родные группы 9, 10 и 11 классов и исходные обозначения каждой целой задачи.

Условие

Кот Леопольд стоит на горизонтальной поверхности земли на некотором расстоянии $L$ от вертикального обрыва скалы. С края обрыва мыши бросают камень таким образом, что вектор начальной скорости камня $\vec v_0$ , модуль которой равен $v_0=10\,\text{м/с}$ , направлен перпендикулярно лучу зрения Леопольда.

Угол между горизонтом и лучом зрения Леопольда, направленным на камень, в момент броска был равен $\alpha_0=25^\circ$ , а через некоторое время $t_1$ после броска камня достиг максимального значения, равного $\alpha_1=38^\circ$ .

Леопольд и траектория броска находятся в одной вертикальной плоскости, ускорение свободного падения $g=10\,\text{м/с}^2$ .

Complete native illustrated stone/cliff/Leopold/mice scene with v0/g/alpha0/L arrows, right-angle mark and horizon/sight line.

1 Чему равно время $t_1$ ?

2 На каком расстоянии $L$ от скалы находился Леопольд?

Решение

1. Поскольку вектор начальной скорости $\vec v_0$ направлен перпендикулярно лучу зрения — он образует угол $\alpha_0$ с вертикалью.

Траектория камня представляет собой участок параболы ветвями вниз,поэтому максимальное значение $\alpha_1=38^\circ$ реализуется, если Леопольд расположен вне искомой параболы, и в момент времени $t_1$ , когда угол между лучом зрения и горизонтом достигает максимального значения, луч зрения направлен по касательной к траектории камня. Это означает, что в данный момент скорость камня $\vec v_1$ направлена прямо на Леопольда и образует угол $\alpha_1$ с горизонтом.

Для определения времени $t_1$ построим векторный треугольник скоростей для данного момента времени. Из теоремы синусов находим:

\frac{gt_1}{\sin(\pi/2+\alpha_1-\alpha_0)}=\frac{v_0}{\sin(\pi/2-\alpha_1)},

откуда:

t_1=\frac{v_0\sin(\pi/2+\alpha_1-\alpha_0)}{g\sin(\pi/2-\alpha_1)}\approx1{,}24\,\text{с}.

2. Введём систему координат $xy$ с началом в месте расположения глаз Леопольда так, как показано на рисунке. Тогда зависимости координат $x(t),y(t)$ следующие:

x(t)=L-v_0\sin\alpha_0t,

y(t)=L\operatorname{tg}\alpha_0+v_0\cos\alpha_0t-\frac{gt^2}2.

Тогда для тангенса угла $\alpha_1$ в момент времени $t_1$ получим:

\operatorname{tg}\alpha_1=\frac{y(t_1)}{x(t_1)}=\frac{L\tan\alpha_0+v_0\cos\alpha_0t_1-gt_1^2/2}{L-v_0\sin\alpha_0t_1},

откуда:

L=\frac{v_0t_1(\cos\alpha_0+\operatorname{tg}\alpha_1\sin\alpha_0)-gt_1^2/2}{\operatorname{tg}\alpha_1-\operatorname{tg}\alpha_0}\approx24{,}3\,\text{м}.

Native complete v0/v1/gt1 velocity triangle with alpha0/alpha1/right-angle symbols. Original bottom triangle overlaps printed key prose; retain native overlap without masking/redraw.

Native full xy/cliff/launch geometry, x/y/0,g/v0/alpha0/L arrows, sight line, hatching and right-angle marker.

Оригинал в Архива: Ru23-T.pdf · решение от архива: Ru23-T.pdf