Съдържание

ВсОШ 2023, Заключителен етап — Задача 6. 10-Т1 · Кинематика поршня

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2023

LVI Всероссийская олимпиада школьников по физике — Заключительный этап, теоретический тур — Санкт-Петербург, 2023

Внимание: Бележка към темата

Полный исходный 58-страничный сборник: 15 целых задач 9–11 классов, 34 номерованных запроса и 2 ненумерованные задачи; все напечатанные возможные решения, альтернативные методы и заключительные примечания. Исходные несогласованности сохранены и отмечены отдельно. Баллы, критерии и продолжительность в данном источнике не напечатаны. Для построений и рисунков используйте исходный PDF с родным масштабом.

Титул, авторы и материалы исходного сборника

Министерство просвещения Российской Федерации. Центральная предметно-методическая комиссия Всероссийской олимпиады школьников по физике. LVI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Санкт-Петербург, 2023 г.

Комплект задач подготовлен центральной предметно-методической комиссией Всероссийской олимпиады школьников по физике. E-mail: physolymp@gmail.com.

Авторы задач

9-Т1. Иван Юдин
9-Т2. Александр Евсеев
9-Т3. Денис Рубцов
9-Т4. Антон Вергунов
9-Т5. Антон Вергунов, Андрей Уймин
10-Т1. Александр Аполонский
10-Т2. Вадим Ерин
10-Т3. Александр Аполонский
10-Т4. Андрей Уймин
10-Т5. Андрей Уймин
11-Т1. Александр Аполонский
11-Т2. Григорий Расторгуев
11-Т3. Андрей Уймин
11-Т4. Андрей Уймин
11-Т5. Андрей Уймин

Исходные задания и ключ датированы 12 апреля 2023 г. В исходном ключе заголовок «Возможные решения». Сохранены родные группы 9, 10 и 11 классов и исходные обозначения каждой целой задачи.

Условие

Герметично закрытый с обоих концов теплоизолированный цилиндр расположен горизонтально. Внутри цилиндра находится непроводящий тепло легкий вертикальный поршень площадью $S$ , делящий цилиндр на два отсека. Поршень может перемещаться внутри цилиндра без трения. Отсеки заполнены идеальным одноатомным газом при давлении $p_0$ . В первый отсек помещён нагреватель, по которому может поступать тепло, во втором отсеке размещён теплообменник, с помощью которого тепло отводится из отсека. Модули мощностей подвода и отвода тепла равны $q_1$ и $q_2$ соответственно. Нагреватель и теплообменник приводят в действие одновременно.

В пунктах 1 и 2 считайте, что первоначальные объёмы отсеков равны. Все процессы считать равновесными.

1 Определите скорость перемещения поршня в начальный момент времени, сразу после включения нагревателя и теплообменника.

2 Определите скорость перемещения поршня в момент времени, когда поршень делит объём цилиндра в отношении $2:1$ , если модули мощностей $q_1$ и $q_2$ одинаковы и равны $q$ .

3 Пусть в начальный момент времени поршень делит объём цилиндра в отношении $3:1$ , а во втором (меньшем) отсеке вместо теплообменника установлен нагреватель мощности $q_2$ . Определите отношение $q_2/q_1$ , при котором поршень останется неподвижным.

Решение

1. По условию поршень легкий и перемещается в сосуде без трения. Следовательно, в любой момент времени давление газа по обе стороны от поршня одинаково. Для объёмов отсеков $V_1$ и $V_2$ справедливо равенство $V_1+V_2=2V_0$ , где $V_0$ — начальный объём отсека. Рассмотрим процесс, происходящий с газом за малый промежуток времени $\Delta t$ , и запишем первое начало термодинамики для каждого отсека:

\begin{cases}q_1\Delta t=\frac32\nu_1R\Delta T_1+p\Delta V,\\-q_2\Delta t=\frac32\nu_2R\Delta T_2-p\Delta V.\end{cases}

Запишем для каждого отсека уравнение Менделеева–Клапейрона и выразим изменение температуры:

\begin{cases}pV_1=\nu_1RT_1,\\pV_2=\nu_2RT_2\end{cases}\ \Rightarrow\ \begin{cases}\nu_1R\Delta T_1=p\Delta V+V_1\Delta p,\\\nu_2R\Delta T_2=-p\Delta V+V_2\Delta p.\end{cases}

Отсюда получим, что

\begin{cases}q_1\Delta t=\frac32V_1\Delta p+\frac52p\Delta V,\\-q_2\Delta t=\frac32V_2\Delta p-\frac52p\Delta V.\end{cases}

Сложим и вычтем друг из друга записанные выше уравнения:

\begin{cases}(q_1-q_2)\Delta t=3V_0\Delta p,\\(q_1+q_2)\Delta t=\frac32(V_1-V_2)\Delta p+5p\Delta V.\end{cases}\qquad (*)

Тогда для начального момента $(p=p_0,V_1=V_2=V_0)$ получим $(q_1+q_2)\Delta t=5p_0\Delta V$ . Отсюда, учитывая, что $\Delta V=Sv_0\Delta t$ , найдём начальную скорость поршня $v_0$ :

v_0=\frac{q_1+q_2}{5p_0S}.

2. Если $q_1=q_2=q$ , то задача упрощается, и из первого уравнения в () находим, что $p=p_0=\mathrm{const}$ . Из второго уравнения в () получим $2q\Delta t=5p_0\Delta V$ . Это означает, что скорость движения поршня постоянна и равна $v=2q/(5p_0S)$ .

3. Если отношение объёмов $V_1:V_2=3:1$ , то $V_1=3V_0/2,V_2=V_0/2$ . Поскольку поршень в этом пункте задачи неподвижен, объём обоих отсеков со временем не меняется. Перепишем уравнения (*), изменив знак у $q_2$ и учитывая, что в каждом отсеке происходит изохорный процесс $(\Delta V=0)$ :

\begin{cases}(q_1+q_2)\Delta t=3V_0\Delta p,\\(q_1-q_2)\Delta t=\frac32V_0\Delta p.\end{cases}

Из полученных уравнений следует, что

\frac{q_1+q_2}{q_1-q_2}=2\ \Rightarrow\ \frac{q_2}{q_1}=\frac13.

Оригинал в Архива: Ru23-T.pdf · решение от архива: Ru23-T.pdf