Съдържание

ВсОШ 2023, Заключителен етап — Задача 7. 10-Т2 · Из лунки в поле

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2023

LVI Всероссийская олимпиада школьников по физике — Заключительный этап, теоретический тур — Санкт-Петербург, 2023

Внимание: Бележка към темата

Полный исходный 58-страничный сборник: 15 целых задач 9–11 классов, 34 номерованных запроса и 2 ненумерованные задачи; все напечатанные возможные решения, альтернативные методы и заключительные примечания. Исходные несогласованности сохранены и отмечены отдельно. Баллы, критерии и продолжительность в данном источнике не напечатаны. Для построений и рисунков используйте исходный PDF с родным масштабом.

Титул, авторы и материалы исходного сборника

Министерство просвещения Российской Федерации. Центральная предметно-методическая комиссия Всероссийской олимпиады школьников по физике. LVI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Санкт-Петербург, 2023 г.

Комплект задач подготовлен центральной предметно-методической комиссией Всероссийской олимпиады школьников по физике. E-mail: physolymp@gmail.com.

Авторы задач

9-Т1. Иван Юдин
9-Т2. Александр Евсеев
9-Т3. Денис Рубцов
9-Т4. Антон Вергунов
9-Т5. Антон Вергунов, Андрей Уймин
10-Т1. Александр Аполонский
10-Т2. Вадим Ерин
10-Т3. Александр Аполонский
10-Т4. Андрей Уймин
10-Т5. Андрей Уймин
11-Т1. Александр Аполонский
11-Т2. Григорий Расторгуев
11-Т3. Андрей Уймин
11-Т4. Андрей Уймин
11-Т5. Андрей Уймин

Исходные задания и ключ датированы 12 апреля 2023 г. В исходном ключе заголовок «Возможные решения». Сохранены родные группы 9, 10 и 11 классов и исходные обозначения каждой целой задачи.

Условие

В поле находится лунка, из которой вылетает маленький шарик. Непосредственно перед вылетом скорость шарика равна $\vec v_0$ и направлена вертикально вверх. В момент вылета шарик абсолютно упруго сталкивается со вторым таким же шариком, который перед ударом покоился на уровне поверхности поля. После удара шарики движутся под действием только силы тяжести и падают где-то в поле. Удар шариков о поле абсолютно неупругий.

Поверхность поля считайте горизонтальной. Размеры лунки и шариков малы по сравнению с $l_{\max}$ и $S_{\max}$ .

Complete native pit/collision diagram, two balls, vertical v0/g arrows and hatched level surface/pit walls.

1 Найдите максимально возможное расстояние $l_{\max}$ между точками падения шариков.

2 Найдите максимально возможное расстояние $S_{\max}$ от лунки до места падения одного из шариков.

Решение

1. Воспользуемся законами сохранения импульса и энергии при соударении:

\begin{cases}m\vec v_0=m\vec v_1+m\vec v_2&\text{ЗСИ},\\\frac{mv_0^2}2=\frac{mv_1^2}2+\frac{mv_2^2}2&\text{ЗСЭ}.\end{cases}

Возведем ЗСИ в квадрат получим:

v_0^2=v_1^2+v_2^2+2\vec v_1\cdot\vec v_2.

С учетом ЗСЭ получим

2\vec v_1\cdot\vec v_2\ \Rightarrow\ \vec v_1\perp\vec v_2.

Поскольку $v_1^2+v_2^2=v_0^2$ и $\vec v_0=\vec v_1+\vec v_2$ , то треугольник скоростей является прямоугольным и вписан окружность с диаметром $v_0$ .

Введём в точке старта систему координат $yOx$ , где ось $y$ направлена вертикально вверх, а ось $x$ направлена горизонтально. Далее под $v_{x(i)}$ и $v_{y(i)}$ подразумеваются соответственно модули горизонтальной и вертикальной составляющих компонент скоростей $i$ -го шарика сразу после удара. Отметим, что $v_{x(1)}=v_{x(2)}=v_x$ .

Найдём дальность полета $i$ -го шарика:

t_i=\frac{2v_{y(i)}}g,\qquad l_i=v_xt_i\ \Rightarrow\ l_i=\frac{2v_xv_{y(i)}}g.

Для расстояния между точками падения шариков имеем:

l=l_1+l_2=\frac{2v_x\bigl(v_{y(1)}+v_{y(2)}\bigr)}g=\frac{2v_0v_x}g.

Таким образом, расстояние между точками падения максимально при максимальном значении $v_x$ , равном радиусу окружности или $v_0/2$ . Таким образом, ответ на первый вопрос:

l_{\max}=\frac{v_0^2}g.

2. Максимальная дальность полета одного из шариков соответствует максимальному значению произведения $v_xv_{y(i)}$ , следовательно будет одинаковой для обоих шариков. Произведение $v_xv_y$ геометрически представляет собой площадь прямоугольника со сторонами $v_x$ и $v_y$ . В свою очередь, данная площадь равна площади равнобедренного треугольника с равными сторонами $v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$ и основанием $2v_x$ . Этот треугольник вписан в окружность радиусом $v_0/2$ . Максимум площади треугольника, вписанного в окружность радиусом $R$ , достигается в случае равностороннего треугольника и равен:

S=\frac{3\sqrt3R^2}4\ \Rightarrow\ (v_xv_y)_{\max}=\frac{3\sqrt3v_0^2}{16},

откуда:

l_{i(\max)}=\frac{3\sqrt3v_0^2}{8g}.

Примечание к источнику: на странице 23 между $2\vec v_1\cdot\vec v_2$ и стрелкой следствия не напечатано равенство нулю. Сохранена исходная запись.

Native complete circular velocity diagram, v0/v1/v2 directed triangle and right-angle mark, full circle boundary.

Native complete inscribed triangle/rectangle construction, v0/2 radius arrow, v/vx/vy labels, full circumference.

Оригинал в Архива: Ru23-T.pdf · решение от архива: Ru23-T.pdf