ВсОШ 2023, Заключителен етап — Задача 8. 10-Т3 · Посеребренный конус

1. Рассмотрим пучок лучей, падающих на правое (по рисунку) основание конуса диаметром $D$. Часть лучей, идущих в пределах круга диаметром $d$ с центром на оси конуса, проходит без препятствий и образует на экране круглое пятно того же диаметра $d_0=d$.

Остальные лучи, прошедшие через входное сечение конуса, испытывают не менее одного отражения от боковой поверхности конуса. Поскольку оптическая схема имеет осевую симметрию, то эти лучи будут образовывать кольца, с центром в точке пересечения экрана осью конуса. Выясним количество и геометрию колец (радиусы и ширину колец, а также возможность их перекрытия друг с другом).

В дальнейшем будем рассматривать лучи, падающие на одну из образующих конической поверхности. Пусть $\alpha_0$ — угол между направлением исходного пучка света и конической поверхностью отверстия. Из геометрии $\alpha_0=(D-d)/(2h)=3d/(2h)$. Заметим, что из условия следует $\alpha_0\ll1$.

Рассмотрим луч 1 исходного пучка, падающий на самый край выходного сечения конуса и не отражавшийся до этого. После одного отражения он выйдет из отверстия под углом $2\alpha_0$ к начальному направлению.

Теперь рассмотрим луч 2, падающий на коническую поверхность максимально далеко от выходного отверстия и испытывающий ровно одно отражение до выхода из пластины. Найдем расстояние $x_1$ от места падения луча до левой поверхности пластины. Так как $\alpha_0\ll1$, то с хорошей точностью можем считать равным $\pi/2$ угол между конической поверхностью отверстия и поверхностью пластины. В таком случае $x_1\approx d/\operatorname{tg}\alpha_0=2h/3$.

Эти лучи (с учетом симметрии) образуют на экране кольцо, толщина которого $d_1=d$. Радиус средней линии кольца $R_1$ найдем рассмотрев ход луча, испытавшего одно отражение и вышедшего из центра выходного отверстия. Так как луч выходит под углом $\alpha_1=2\alpha_0$ к оси конуса, то $R_1=L\operatorname{tg}\alpha_1=3dL/h$. Заметим, что $R_1\gg d$ (толщины первого кольца и диаметра центрального пятна), что означает отсутствие пересечения первого кольца с центральным пятном.

Рассмотрим лучи, отразившиеся от конической поверхности отверстия дважды. Они выйдут из пластины под углом $\alpha_2=4\alpha_0$ и образуют на экране еще одно кольцо. Найдем расстояние $x_2$ между точками первого отражения предельных лучей из этой группы. Так как $\alpha_0\ll1$, то с хорошей точностью $x_2=x_1=2h/3$. Как мы видим толщины пластины не достаточно для того, чтобы лучи, испытавшие два отражения, выходили в заданном направлении со всей площади выходного отверстия. Из хода предельных лучей 3 и 4 видно, что толщина второго кольца $d_2=d/2$, а радиус внешней части второго кольца равен $R_2=L\operatorname{tg}\alpha_2=6dL/h$.

2. Все вышедшие из отверстия пучки параллельных лучей соберутся в фокальной плоскости. Определить место их сбора можно следующим образом: так как $h\ll L$ и $d\ll h$, то можно считать, что все лучи выходят практически из одной точки, совпадающей с фокусом линзы, значит после преломления они будут идти параллельно главной оптической оси. Из рисунка видно, что в таком случае радиусы колец уменьшатся в два раза. $R'_1=R_1/2=3dL/(2h),R'_2=R_2/2=3dL/h$.

Определим как изменятся их толщины и диаметр центрального пятна.

Центральное пятно образуется параллельным пучком лучей, идущим вдоль главной оптической оси. Идеальная линза собирает такие лучи в точку, поэтому в приближении геометрической оптики размер центрального пятна будет много меньше $d$.

Кольца образуются также параллельными пучками лучей, которые идеальная линза собирает в фокальной плоскости, поэтому толщина колец тоже станет много меньше $d$.