ВсОШ 2023, Заключителен етап — Задача 9. 10-Т4 · Полусферический конденсатор

1. Сила взаимодействия заряда и полусферы направлена вдоль оси вращения. Пусть $\alpha$ — угол между осью вращения и линией, проведённый из центра полусферы в её некоторую точку, а $dS$ — малый элемент поверхности полусферы вблизи данной точки. Тогда получим:

Далее возможны два варианта рассуждений.

Первое решение: Величина $dS\cos\alpha$ представляет собой проекцию элемента площади $dS$ на основание. Поскольку величина $r$ постоянна, суммирование проводится следующим образом:

где $\sum dS\cos\alpha=\pi r^2$ — площадь круга в основании полусферы. Подставляя, находим:

Второе решение: Рассмотрим взаимодействие заряда с тонкой кольцевой полоской. Для её площади $dS$ имеем:

где $R=r\sin\alpha$ — радиус полоски, а $dl=r\,d\alpha$ — её ширина. Отсюда:

Учитывая, что $\cos\alpha\,d\alpha=d(\sin\alpha)=dt$, получим:

Интегрируя, находим:

2. Определим заряд $Q$ на полусферах при напряжении источника $U$. Поскольку $d\ll R$ — электрическое поле заряда $q$ в зазоре между полусферами можно считать постоянным по модулю и равным $E_q=q/(4\pi\varepsilon_0R^2)$. Тогда напряжение, создаваемое зарядами полусфер, равно:

Обратим внимание, что эта величина также постоянна. Опишем два способа определения электрического поля $E_{\text{заз}}$ в зазоре:

Первое решение: Мысленно достроим полусферы до сфер, равномерно заряженных по поверхности одинаковыми по величине и противоположными по знаку зарядами $\pm2Q$.

Тогда внутри сферы радиусом $R$ электрическое поле равняется нулю во всех точках, а в зазоре между ними электрическое поле равняется:

Поскольку $d\ll R$ — создаваемое добавленными полусферами электрическое поле пренебрежимо мало по сравнению с полным электрическим полем $E_{\text{заз}}$, поскольку при достаточно больших расстояниях от краёв эти полусферы ведут себя как одна с нулевым суммарным зарядом.

Второе решение: Поскольку радиусы сфер велики по сравнению с толщиной в зазоре и поскольку суммарный заряд системы равен нулю — электрическое поле в зазоре между полусферами с хорошей точностью можно приблизить электрическим полем внутри плоского конденсатора, поскольку поверхностные плотности заряда на полусферах по модулю практически совпадают. Отсюда:

Воспользовавшись выражением для электрического поля в зазоре, получим:

откуда находим:

3. Поскольку заряды полусфер равны $\pm Q$, а их площади равны соответственно $2\pi R^2$ и $2\pi(R+d)^2$, для силы $F$ электростатического взаимодействия заряда $q$ с полусферами находим:

В момент начала движения $F=mg$, откуда находим заряд $Q_{\max}$, при котором заряд $q$ начинает движение:

Подставляя связь $Q$ и $U$, для напряжения $U_{\max}$ получим:

4. Для определения изменения электростатической энергии системы можно использовать два подхода — закон изменения энергии и вычисление её каждой компоненты.

Первое решение: Поскольку напряжение $U$ между обкладками изменяется медленно, изменение электростатической энергии системы $\Delta W$ равняется работе источника по перемещению зарядов между обкладками.

Для её определения построим график зависимости $U(Q)$. При нулевом напряжении на источнике заряды на полусферах равна $\mp q/2$. Работа источника равна площади под этим графиком при изменении заряда полусфер от величины $-q/2$ до величины $Q_{\max}$. Эта площадь, в свою очередь, равна площади треугольника со сторонами $U_{\max}$ и $Q_{\max}+q/2$. Таким образом:

и окончательно:

Второе решение: Электростатическая энергия системы складывается из энергии взаимодействия $W_C$ полусфер друг с другом и энергии взаимодействия $W_q$ полусфер с зарядом $q$.

Выражение для энергии полусфер совпадает с выражением для энергии конденсатора:

Энергия $W_1$ взаимодействия одной полусферы с зарядом $Q$ и радиусом $r$ с точечным зарядом $q$, расположенным в её центре, равна:

откуда:

Тогда выражение для электростатической энергии системы $W$:

Подставляя связь $U$ и $Q$, находим:

Таким образом, выражение для изменения электростатической энергии системы следующее:

Третье решение: Рассмотрим произвольную систему точечных зарядов. Пусть $q_i$ — точечный заряд с номером $i$, а $\varphi_i$ — потенциал, создаваемый остальными зарядами в месте расположения заряда $q_i$. Тогда потенциальная энергия $i$-го заряда в поле остальных равняется:

Если просуммировать величины $W_i$, то полученная сумму будет равна удвоенной электростатической энергии системы $2W$, поскольку в данной сумме каждое взаимодействие учитывается два раза. Таким образом:

Применяя последнее соотношение, получим:

где $\varphi_+$ и $\varphi_-$ — потенциалы на поверхностях полусфер с зарядами $Q$ и $-Q$ соответственно, а $\varphi_q$ — потенциал поля полусфер в их центре. Имеем:

Подставляя связь $Q$ и $U$, находим:

Тогда для изменение электростатической энергии имеем:

Примечание к источнику: в двух промежуточных формулах для $W$ на странице 31 перед скобками напечатано $d/(4\pi\varepsilon_0)$ без $R^2$ в знаменателе, в отличие от выражения через $Q$ на странице 30. Обе исходные формулы и итоговые ответы сохранены.