ВсОШ 2023, Заключителен етап — Задача 12. 11-Т2 · Похоже на Сатурн

1. Пусть $\vec R$ — радиус–вектор, проведённый из центра шара в точку на его поверхности. Тогда для электрического поля на поверхности шара получим:

Далее воспользуемся цилиндрическими координатами $r,z$. Начало координат совпадает с центрами кольца и шара, ось $z$ направлена вдоль оси вращения системы, а $r$ обозначает расстояние от рассматриваемой точки до оси $z$.

Определим электрическое поле кольца на его оси вращения.

Первый способ:

Рассмотрим окружность радиусом $r'$ с зарядом $dq$, распределённым равномерно по её периметру. Тогда на оси вращения окружности в точке с координатой $z$ электрическое поле равняется:

Поскольку $z<R\ll r_1,r_2$ — при любых значениях $z$ справедливо приближение:

Учитывая, что для кольца $dq=2\pi r'\,dr'\sigma$ — его электрическое поле на оси $z$ равняется:

Второй способ:

Электрическое поле кольца на его оси может быть найдено с помощью теоремы о телесном угле. Покажем, что если по плоскому слою равномерно распределён заряд с поверхностной плотностью $\sigma$, то в точке $A$ компонента электрического поля, перпендикулярная слою, равна:

где $\Omega_A$ — телесный угол, под которым виден плоский слой из точки $A$.

Доказательство: рассмотрим элемент плоского слоя с площадью $dS$. Пусть $\vec e_n$ — единичный вектор нормали к поверхности слоя, направленный к точке $A$, а $\vec r$ — радиус–вектор, проведённый от элемента слоя к точке $A$. Тогда для нормальной компоненты электрического поля элемента слоя получим:

Если направления векторов $\vec r$ и $d\vec S$ изменить на противоположные, величина $(\vec r\cdot d\vec S)/r^3$ по определению будет представлять собой элемент телесного угла $d\Omega_A$, под которым элемент плоского слоя виден из точки $A$. Таким образом:

что и требовалось доказать.

Определим телесный угол, код которым виден диск из точки, расположенной на его оси. Он равен телесному углу, под которым виден из центра сферы её сегмент, ограниченный конусом с углом раствора $2\alpha$, вершина которого совпадает с центром сферы:

где $h=R(1-\cos\alpha)$. Отсюда:

Тогда для телесного угла, под которым виден диск радиусом $r$ из точки, находящейся на его оси вращения на расстоянии $z$ от центра, получим:

Телесный угол, под которым видно кольцо на его оси вращения в точке с координатой $z$, может быть получен как разность телесных углов дисков радиусами $r_2$ и $r_1$:

Наконец, обратим внимание, что компонента электрического поля кольца, перпендикулярная его плоскости, вблизи оси вращения кольца является практически постоянной. Это связано с тем, что складываемые компоненты электрического поля имеют одинаковое направление, а расстояние до каждого заряженного элемента кольца при малых отклонениях от его оси вращения так же изменяется на малую величину.

Таким образом:

Далее определим компоненту электрического поля $E_r$ кольца, перпендикулярную его оси вращения. Вблизи плоскости кольца величина данной компоненты электрического поля является практически постоянной, поскольку, как и в случае с компонентой $E_z$, при малых отклонениях от плоскости кольца направления складываемых компонент векторов не изменяются, а расстояния так же изменяются на малую величину.

Таким образом:

Первый способ:

Воспользуемся теоремой Гаусса для цилиндра радиусом $r$ и высотой $2h$, соосного с кольцом:

где $\Phi_{\text{осн}}$ и $\Phi_{\text{бок}}$ — потоки электрического поля кольца через основания цилиндра и боковую поверхность соответственно.

Поскольку компонента электрического поля кольца $E_z$ практически не зависит от $r$, а компонента электрического поля кольца $E_r$ практически не зависит от $z$:

Подставляя полученное ранее выражение для $E_z$:

Второй способ:

Рассмотрим окружность радиусом $r'$, по периметру которой равномерно распределён заряд $q$. В точке окружности, расположенной на расстоянии $r\ll r'$ от его центра, электрическое поле направлено вдоль линии, соединяющей центр кольца с рассматриваемой точкой.

Пусть $\varphi$ — угол, отсчитываемый между линиями «точка–центр окружности» и «элемент заряда–центр окружности». Тогда для элементарной компоненты электрического поля $dE_r$ получим:

Учтём, что $dq=q\cdot d\varphi/(2\pi)$ и введём параметр $a=r/r'$:

Упростим полученное выражение с учётом $a\ll1$:

Здесь мы пренебрегали всеми порядками малости, выше первого. Получим:

Здесь мы учли, что интеграл от тригонометрической функции за период равен нулю. Продолжая интегрирование:

Тогда для $E_r$ имеем:

При переходе к исходному кольцу $E_r\to dE_r$, а $q\to dq=2\pi r'\,dr'\sigma$. Тогда для компоненты электрического поля кольца $E_r$ получим:

Введём угол $\alpha$ между плоскостью кольца и радиус–вектором $\vec R$. Тогда для $r$ и $z$ получим:

Для компонент электрического поля на поверхности шара получим:

Величина электрического поля определяется выражением $E=\sqrt{E_z^2+E_r^2}$ и достигает экстремальных значений при $\alpha=0,\pi/2$. Поскольку заряды кольца и шара положительные, для них имеем:

Поскольку $E_1<E_2$, окончательно находим:

2. Для того, чтобы электрическое поле можно было считать направленным вдоль оси $z$ вращения системы, компонента $E_r$ электрического поля должна обращаться в ноль, чему соответствует единственное значение $\sigma$, равное:

Отметим, что при данном значении $\sigma$ компонента $E_z$ не обращается в ноль в точках, удалённых от плоскости кольца на значительное расстояние. Вблизи плоскости кольца компонента электрического поля $E_z$ в точности стремится к нулю, а полученное нами приближение для компоненты $E_r$ электрического поля становится неприменимым (для полученной $\sigma$), поскольку не учитывает более высоких членов разложения, и, соответственно, в точках, находящихся вблизи плоскости кольца, электрическое поле на довольно коротком участке становится направленным вдоль плоскости кольца.

Примечания к источнику: страница 46 повторяет обозначение $\Phi_{\text{осн}}$ для обоих выражений потоков через основания и боковую поверхность. На странице 47 первая формула для $dE_r$ и отдельная формула $E_r=qr/(8\pi\varepsilon_0r'^3)$ в видимых исходных пикселях положительны, в отличие от промежуточных интегралов и конечного поля кольца; текстовый слой PDF содержит скрытые минусы, поэтому исходные пиксели определяют сохранённую запись. На странице 48 в правой границе заключительного неравенства у $Q/(4\pi R^2)$ отсутствует $\varepsilon_0$, хотя предыдущее выражение $E_2$ его содержит; левая граница сохраняет модуль и $\varepsilon_0$. Ответ и ограничения приближения сохранены без дополнения ключа.