Съдържание

ВсОШ 2023, Заключителен етап — Задача 13. 11-Т3 · Кружатся диски

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2023

LVI Всероссийская олимпиада школьников по физике — Заключительный этап, теоретический тур — Санкт-Петербург, 2023

Внимание: Бележка към темата

Полный исходный 58-страничный сборник: 15 целых задач 9–11 классов, 34 номерованных запроса и 2 ненумерованные задачи; все напечатанные возможные решения, альтернативные методы и заключительные примечания. Исходные несогласованности сохранены и отмечены отдельно. Баллы, критерии и продолжительность в данном источнике не напечатаны. Для построений и рисунков используйте исходный PDF с родным масштабом.

Титул, авторы и материалы исходного сборника

Министерство просвещения Российской Федерации. Центральная предметно-методическая комиссия Всероссийской олимпиады школьников по физике. LVI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Санкт-Петербург, 2023 г.

Комплект задач подготовлен центральной предметно-методической комиссией Всероссийской олимпиады школьников по физике. E-mail: physolymp@gmail.com.

Авторы задач

9-Т1. Иван Юдин
9-Т2. Александр Евсеев
9-Т3. Денис Рубцов
9-Т4. Антон Вергунов
9-Т5. Антон Вергунов, Андрей Уймин
10-Т1. Александр Аполонский
10-Т2. Вадим Ерин
10-Т3. Александр Аполонский
10-Т4. Андрей Уймин
10-Т5. Андрей Уймин
11-Т1. Александр Аполонский
11-Т2. Григорий Расторгуев
11-Т3. Андрей Уймин
11-Т4. Андрей Уймин
11-Т5. Андрей Уймин

Исходные задания и ключ датированы 12 апреля 2023 г. В исходном ключе заголовок «Возможные решения». Сохранены родные группы 9, 10 и 11 классов и исходные обозначения каждой целой задачи.

Условие

На рисунке показана схема электрической цепи, состоящей из источника с электродвижущей силой $\mathcal E$ , конденсатора ёмкостью $C$ , катушки индуктивностью $L$ , ключа $K$ и металлического диска радиусом $R$ . Диск может вращаться вокруг своей оси без трения. Диск расположен в однородном магнитном поле с индукцией $\vec B$ , направленном вдоль его оси так, как показано на рисунке. Практически вся масса $m$ диска сосредоточена в его тонком ободе. Источник соединён с диском в его центре $O$ , а катушка индуктивности соединена с диском с помощью неподвижного скользящего контакта $A$ . Омическим сопротивлением контура, по которому течёт ток, и наличием у него индуктивности (дополнительно к $L$ ) можно пренебречь. Изначально ключ $K$ разомкнут, диск неподвижен, ток в катушке отсутствует, а конденсатор не заряжен. Ключ $K$ замыкают.

Определите максимальную угловую скорость диска $\omega_{\max}$ после замыкания ключа, а также время $\tau$ после замыкания ключа, через которое угловая скорость диска впервые достигает значения $\omega_{\max}$ .

Native full conducting rotating disk/source/capacitor/inductor/open-switch circuit,E,C,L,K,R,O,A,m,B arrow,sliding contact,polarity and complete disk boundaries.

Решение

Пусть диск вращается с угловой скоростью $\omega$ в направлении против часовой стрелки. У носителей зарядов, находящихся на расстоянии $r$ от оси диска, появляется коллективная скорость $\omega r$ , перпендикулярная оси диска, и, соответственно, появляется одинаковая (не зануляющаяся при суммировании по всем носителям) составляющая сила Лоренца, которая вызовет перераспределение носителей по радиусу до стационарного состояния, в котором разность потенциалов в точках, находящихся на расстояниях $r$ и $r+dr$ от оси диска равна $d\varphi=\omega B\,r\,dr$ .

Таким образом, присутствие магнитного поля вызовет появление во вращающемся диске ЭДС индукции, равной:

\mathcal E_{\text{инд}}=\omega B\int_0^Rr\,dr=\frac{\omega BR^2}2,\qquad (1)

по знаку противоположной ЭДС источника.

Запишем второй закон Кирхгофа для контура электрической цепи:

\mathcal E+\mathcal E_{\text{инд}}=\mathcal E-\frac{\omega BR^2}2=L\ddot q+\frac qC,\qquad (2)

где $q$ — заряд конденсатора.

Далее запишем закон изменения энергии в электрической цепи, учитывая, что магнитное поле не совершает работы:

A_{\text{ист}}=\mathcal E\cdot\Delta q=\Delta W_C+\Delta W_L+\Delta E_k,

где $W_C$ и $W_L$ — энергия конденсатора и катушки индуктивности соответственно, а $E_k$ — кинетическая энергия вращения обода. Приведём выражения для них:

W_C=\frac{q^2}{2C},\qquad W_L=\frac{L\dot q^2}2,\qquad E_k=\frac{mR^2\omega^2}2.

Дифференцируя по времени закон сохранения энергии, получим:

\mathcal E\dot q=\frac{q\dot q}C+L\dot q\ddot q+mR^2\omega\dot\omega.\qquad (3)

Умножая уравнение (2) на $\dot q$ и вычитая из него уравнение (3), получим следующее соотношение между $\dot\omega$ и $\dot q$ :

\frac{BR^2\dot q}2=mR^2\dot\omega\ \Rightarrow\ \omega=\frac{qB}{2m}.\qquad (4)

В последнем переходе мы воспользовались начальными условиями:

\omega(0)=0,\qquad q(0)=0.

Примечание: Связь $\omega$ и $q$ может быть получена из уравнения динамики вращательного движения диска относительно точки $O$ . Действительно:

\frac{d\vec L_O}{dt}=mR^2\cdot\frac{d\vec\omega}{dt}=\vec M_O.

Определим момент силы Ампера, действующей на возникающий в диске электрический ток:

d\vec M_O=dI\left[\vec r\times\left[d\vec r\times\vec B\right]\right]=-dI\cdot r\,dr\,\vec B,

где $r$ — расстояние до точки $O$ .

Поскольку через круг любого радиуса с центром в точке $O$ протекает ток силой $I$ — для момента $\vec M_O$ получим:

\vec M_O=I\vec B\int_R^0r\,dr=\frac{IR^2\vec B}2=\frac{R^2\vec B}2\cdot\frac{dq}{dt}.

Таким образом:

mR^2\cdot\frac{d\vec\omega}{dt}=\frac{R^2\vec B}2\cdot\frac{dq}{dt}\ \Rightarrow\ \vec\omega=\frac{q\vec B}{2m}.

Таким образом, возможны три комбинации двух физических законов, приводящие к решению задачи:

Закон электромагнитной индукции и закон сохранения энергии;
Уравнение динамики вращательного движения и закон электромагнитной индукции;
Уравнение динамики вращательного движения и закон сохранения энергии.

Для определения максимальной угловой скорости заметим, что она достигается в момент, когда сила тока в цепи оказывается равной нулю. Тогда из закона изменения энергии имеем:

\mathcal E q=\frac{q^2}{2C}+\frac{mR^2\omega_{\max}^2}2\ \Rightarrow\ \frac{2m\omega_{\max}\mathcal E}B=\frac{\omega_{\max}^2}2\left(\frac{4m^2}{B^2C}+mR^2\right),

откуда:

\omega_{\max}=\frac{4BC\mathcal E}{4m+B^2R^2C}.

Комбинируя уравнения (2) и (4), получим:

\mathcal E=\ddot\omega\cdot\frac{2mL}B+\omega\cdot\left(\frac{BR^2}2+\frac{2m}{BC}\right).\qquad (5)

Вводя переменную $\omega'=\omega-2BC\mathcal E/(4m+B^2R^2C)$ , получим уравнение гармонических колебаний:

\ddot\omega'=-\omega'\left(\frac1{LC}+\frac{B^2R^2}{4mL}\right)=-\Omega_0^2\omega',\qquad\left[\Omega_0=\sqrt{\frac1{LC}+\frac{B^2R^2}{4mL}}\right]\ \Rightarrow\ \omega'(t)=A\cos(\Omega_0t+\varphi_0).

Определим $A$ и $\varphi_0$ из начальных условий:

\begin{cases}\omega(0)=\frac{2BC\mathcal E}{4m+B^2R^2C}+A\cos\varphi_0=0,\\\dot\omega(0)=-\Omega_0A\sin\varphi_0=0\end{cases}\ \Rightarrow\ \varphi_0=\pi;\quad A=\frac{2BC\mathcal E}{4m+B^2R^2C}.

Окончательно для $\omega(t)$ имеем:

\omega(t)=\frac{2BC\mathcal E}{4m+B^2R^2C}\left(1-\cos\left(\sqrt{\frac1{LC}+\frac{B^2R^2}{4mL}}\,t\right)\right).\qquad (6)

Угловая скорость впервые достигается значения $\omega_{\max}$ , когда $\cos\Omega_0\tau=-1$ , т.е при $\omega_0\tau=\pi$ . Тогда для $\tau$ находим:

\tau=\frac\pi{\sqrt{\frac1{LC}+\frac{B^2R^2}{4mL}}}.

Примечания к источнику: на странице 50 интеграл момента имеет положительный множитель $I\vec B$ и пределы от $R$ до $0$ , но его напечатанный результат положителен; сохранена исходная несогласованность знаков. На странице 51 после обозначения частоты $\Omega_0$ в поясняющей фразе напечатано $\omega_0\tau=\pi$ ; сохранены оба обозначения.

Оригинал в Архива: Ru23-T.pdf · решение от архива: Ru23-T.pdf