Съдържание

ВсОШ 2023, Заключителен етап — Задача 14. 11-Т4 · Адиабатическая анизотропия

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2023

LVI Всероссийская олимпиада школьников по физике — Заключительный этап, теоретический тур — Санкт-Петербург, 2023

Внимание: Бележка към темата

Полный исходный 58-страничный сборник: 15 целых задач 9–11 классов, 34 номерованных запроса и 2 ненумерованные задачи; все напечатанные возможные решения, альтернативные методы и заключительные примечания. Исходные несогласованности сохранены и отмечены отдельно. Баллы, критерии и продолжительность в данном источнике не напечатаны. Для построений и рисунков используйте исходный PDF с родным масштабом.

Титул, авторы и материалы исходного сборника

Министерство просвещения Российской Федерации. Центральная предметно-методическая комиссия Всероссийской олимпиады школьников по физике. LVI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Санкт-Петербург, 2023 г.

Комплект задач подготовлен центральной предметно-методической комиссией Всероссийской олимпиады школьников по физике. E-mail: physolymp@gmail.com.

Авторы задач

9-Т1. Иван Юдин
9-Т2. Александр Евсеев
9-Т3. Денис Рубцов
9-Т4. Антон Вергунов
9-Т5. Антон Вергунов, Андрей Уймин
10-Т1. Александр Аполонский
10-Т2. Вадим Ерин
10-Т3. Александр Аполонский
10-Т4. Андрей Уймин
10-Т5. Андрей Уймин
11-Т1. Александр Аполонский
11-Т2. Григорий Расторгуев
11-Т3. Андрей Уймин
11-Т4. Андрей Уймин
11-Т5. Андрей Уймин

Исходные задания и ключ датированы 12 апреля 2023 г. В исходном ключе заголовок «Возможные решения». Сохранены родные группы 9, 10 и 11 классов и исходные обозначения каждой целой задачи.

Условие

В горизонтальный цилиндрический сосуд герметично вставлен поршень, перемещающийся с помощью прикреплённой к нему рукоятки. В сосуде находится насыщенный пар воды при температуре $T_0=333\,\text{К}$ . Жидкой фазы воды в сосуде нет.

Водяной пар можно считать идеальным многоатомным газом. Удельная теплота парообразования воды при температуре $T_0$ равна $L=2{,}36\,\text{МДж/кг}$ и в рамках задачи может считаться не зависящей от температуры. Универсальная газовая постоянная равна $R=8{,}31\,\text{Дж/(моль}\cdot\text{К)}$ . Молярная масса воды равна $\mu=18{,}0\,\text{г/моль}$ .

Считайте известным, что малые относительные изменения давления насыщенного пара и его абсолютной температуры вблизи значений $p_0(T_0)$ и $T_0$ соответственно связаны соотношением $\varepsilon_p=\Delta p/p_0=\alpha\varepsilon_T=\alpha\cdot\Delta T/T_0$ , где $\alpha=15{,}3$ .

Native original sealed horizontal steam cylinder,piston,handle and T0 label,complete walls and boundaries.

1 Температуру в сосуде начинают медленно изменять. Объём сосуда изменяется таким образом, что всё вещество в сосуде всё время остаётся в газообразном состоянии, при этом водяной пар всё время является насыщенным.

Чему равна молярная теплоёмкость водяного пара в данном процессе?

2 Рассмотрим адиабатически изолированный сосуд. Найдите изменение температуры $\Delta T_1$ в сосуде при медленном относительном уменьшении его объёма на величину $\beta=5\%$ .

3 Найдите изменение температуры $\Delta T_2$ в сосуде при медленном относительном увеличении его объёма на величину $\beta=5\%$ .

Решение

1. Запишем первое начало термодинамики для вещества под поршнем:

\delta Q=dU+\delta A=dU+p\,dV=dU+d(pV)-V\,dp.

Далее используем выражение для внутренней энергии идеального газа и уравнение Менделеева–Клапейрона:

U=\nu C_VT,\qquad pV=\nu RT.

Поскольку вещество в сосуде целиком остаётся в газообразной фазе:

d(pV)=\nu R\,dT.

Тогда получим:

\delta Q=\nu C_V\,dT+\nu R\,dT-V\,dp=\nu C_p\,dT-V\,dp,

где $C_p=C_V+R=4R$ — молярная теплоёмкость идеального многоатомного газа при постоянном давлении.

Для теплоёмкости идеального газа, выраженной через параметры $(p,T)$ , имеем:

C=\frac{\delta Q}{dT}=\nu C_p-V\cdot\frac{dp}{dT}=\nu C_p-\frac{\nu RT}p\cdot\frac{dp}{dT}=\nu\left(C_p-R\cdot\frac{\varepsilon_p}{\varepsilon_T}\right).

Тогда молярная теплоёмкость насыщенного пара равна:

C_{\text{нас}}=C_p-\alpha R=R(4-\alpha)=-93{,}9\,\text{Дж/(моль}\cdot\text{К)}.

2. При изменении объёма сосуда возможны два принципиально различных физических процесса:

Если относительное изменение давления водяного пара под поршнем меньше относительного изменения насыщенного пара при том же относительном изменении температуры, т.е если $\varepsilon_p<\varepsilon_{p(\text{н.п})}=\alpha\varepsilon_T$ — вещество в сосуде целиком остаётся в газообразном состоянии, а пар перестаёт быть насыщенным.
Если описанное условие соотношения относительных изменений давлений при одинаковом относительном изменении температуры не выполняется — пар в сосуде будет оставаться насыщенным и при этом частично конденсироваться.

Получим относительное изменение давления пара под поршнем, считая, что он целиком остаётся в газообразном состоянии.

Из уравнения Менделеева–Клапейрона получим:

pV=\nu RT\ \Rightarrow\ p\,dV+V\,dp=\nu R\,dT=\frac{pV\,dT}T\ \Rightarrow\ \varepsilon_p+\varepsilon_V=\varepsilon_T.

Запишем первое начало термодинамики:

dU=-\delta A\ \Rightarrow\ \nu C_V\,dT=-p\,dV=-\frac{\nu RT\,dV}V\ \Rightarrow\ \varepsilon_T=-\frac{R\varepsilon_V}{C_V}.

Обратим внимание, что $\varepsilon_T>0$ , поскольку $\varepsilon_V<0$ .

Далее находим:

\varepsilon_p=\varepsilon_T-\varepsilon_V=\varepsilon_T\left(1+\frac{C_V}R\right)=\frac{C_p\varepsilon_T}R=4\varepsilon_T<\alpha\varepsilon_T.

Таким образом, всё вещество под поршнем остаётся газообразным.

Тогда полученное нами выражение для $\varepsilon_T$ является применимым и температура увеличивается на величину, равную:

\Delta T=T_0\cdot\frac\beta{C_V/R}=\frac{\beta T_0}3\approx5{,}6\,\text{К}.

3. Из решения второго пункта следует, что при увеличении объёма без конденсации температура в сосуде должна уменьшиться. Тогда пар в сосуде будет оставаться насыщенным и при этом частично конденсироваться, поскольку иначе давление пара в сосуде станет выше давления насыщенного пара при той же температуре, что невозможно.

Продифференцируем уравнение Менделеева–Клапейрона с учётом изменения газообразного количества вещества в сосуде:

pV=\nu RT\ \Rightarrow\ \varepsilon_p+\varepsilon_V=\varepsilon_\nu+\varepsilon_T\ \Rightarrow\ \varepsilon_T(\alpha-1)+\varepsilon_V=\varepsilon_\nu,

поскольку в рассматриваемом процессе $\varepsilon_p=\alpha\varepsilon_T$ .

Из первого начала термодинамики:

\delta Q_{\text{нас}}+L\,dm=0,

где $Q_{\text{нас}}$ — количество теплоты, полученное неконденсирующимся насыщенным паром, а $dm=\mu\,d\nu$ — изменение массы водяного пара.

Поскольку состояние не конденсирующегося водяного пара в координатах $(p,T)$ описывается кривой фазового равновесия — его теплоёмкость равна теплоёмкости $C_{\text{нас}}$ , полученной при решении первого пункта, поэтому для количества теплоты $\delta Q_{\text{нас}}$ имеем:

\delta Q_{\text{нас}}=C_{\text{нас}}\,dT.

Примечание: Отметим, что формула

\delta Q_{\text{нас}}=C_V\,dT+p\,dV,

где $dV$ — изменение объёма сосуда, не является правильной, поскольку вследствие фазового перехода величина $dV$ не равна изменению объёма, занимаемого не конденсирующимся водяным паром.

Возвращаясь к первому началу термодинамики для системы, получим:

\nu C_{\text{нас}}\,dT+\lambda\mu\,d\nu=0\ \Rightarrow\ =\varepsilon_\nu=-\frac{C_{\text{нас}}T\varepsilon_T}{\mu\lambda}.

Отсюда:

\varepsilon_T(\alpha-1)+\varepsilon_V=-\frac{C_{\text{нас}}T\varepsilon_T}{\mu\lambda}.

Окончательно находим:

\Delta T=-T_0\cdot\frac\beta{\alpha-1+\frac{(C_p-\alpha R)T_0}{\mu\lambda}}=-T_0\cdot\frac\beta{\alpha-1+\frac{(4-\alpha)R}{\mu\lambda}}\approx-1{,}2\,\text{К}.

Примечания к источнику: на странице 54 обозначение скрытой теплоты меняется с $L$ на $\lambda$ . В первой формуле после стрелки напечатан дополнительный знак равенства перед $\varepsilon_\nu$ . В последней «равной» форме $\Delta T$ отсутствует $T_0$ у $(4-\alpha)R$ , хотя предыдущий знаменатель содержит $(C_p-\alpha R)T_0$ . На странице 53 выражения для $\delta Q_{\text{нас}}$ напечатаны без $\nu$ , а страница 54 вновь включает $\nu C_{\text{нас}}$ . Сохранены все исходные записи и число $-1{,}2\,\text{К}$ .

Оригинал в Архива: Ru23-T.pdf · решение от архива: Ru23-T.pdf