Съдържание

ВсОШ 2023, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 6. 9-E2. Взвесить без весов

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2023

LVI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Экспериментальный тур · 28 януари 2023 г.

Титульный лист

Министерство просвещения Российской Федерации
Центральная предметно-методическая комиссия
Всероссийской олимпиады школьников по физике

LVI Всероссийская олимпиада школьников по физике

Региональный этап

Экспериментальный тур

Москва, 2023 г.

Авторы задач

Комплект задач подготовлен центральной предметно-методической комиссией
Всероссийской олимпиады школьников по физике
E-mail: physolymp@gmail.com

Экспериментальный тур

7-8 класс

7-E1. Сергей Кармазин
7-E2. Сергей Кармазин
8-E1. Сергей Кармазин
8-E2. Сергей Кармазин

9-11 класс

9-E1. Сергей Кармазин
9-E2. Сергей Кармазин
10-E1. Александр Аполонский, Максим Карманов
10-E2. Максим Карманов
11-E1. Александр Аполонский, Максим Карманов
11-E2. Александр Аполонский

Как готовиться к региональному этапу?

В МФТИ запущен классный проект «Физтех-регионам» (https://os.mipt.ru), где в публичном бесплатном доступе лежат лекции и семинары по всем классам и по всем темам. Там же выложены подборки задач по темам. Уровень материалов позволяет хорошо подготовиться к муниципальному и региональному этапу Всероссийской олимпиады школьников по физике.

Если вы школьник, просто пользуйтесь доступными материалами. Если вы преподаватель или сотрудник регионального органа образования, то МФТИ готов помочь организовать на базе вашей школы или центра по работе с талантливыми детьми кружок по физике. Занятия будут проходить по программе «Физтех-регионам», и МФТИ не берет никаких денег за эти материалы. Единственное, вам нужно будет обеспечить работу преподавателя. Подобным образом функционируют кружки уже в более чем 40 регионах России.

В этом году в рамках работы проекта сняты видео-решения (https://os.mipt.ru/#/phys/theme/9V1MmCFakz) экспериментального тура регионального этапа Всероссийской олимпиады школьников по физике. Используйте эти материалы для самоподготовки к будущим олимпиадам.

Условие

Оборудование: лакированный деревянный цилиндр (масса цилиндра указана в комплекте оборудования), отрезок пластиковой трубки, мерный цилиндр, две линейки, пластиковый стакан с водой (плотность воды $\rho_0 = 1$ г/см $^3$ ).

В работе требуется оценка погрешностей: как измеряемых, так и расчетных величин.

0. Запишите в своё решение массу $M$ выданного вам лакированного цилиндра.

1. Определите среднюю плотность $\rho$ лакированного цилиндра.

2. Определите массу отрезка пластиковой трубки $m$ двумя способами: используя правило моментов сил и закон Архимеда.

Отговори

Решение

В авторском комплекте оборудования масса палочки $M = 1.02 \pm 0.02$ г, погрешность 2 единицы последнего разряда весов, относительная погрешность 2%.

Измерим длину палочки линейкой. Длина палочки $L = 240 \pm 1$ мм погрешность определяется ценой деления линейки, относительная погрешность 0.4%.

Определим плотность палочки с помощью силы Архимеда, для этого опустим палочку в мерный стакан и измерим длину $H$ выступающей над водой части палочки: $H = 62 \pm 1$ мм. Длину выступающей части измерять удобнее, чем длину погруженной в воду части палочки, так как в первом случае удается расположить линейку и палочку достаточно близко друг к другу. По закону Архимеда плотность палочки:

\rho_{\text{п}} = \rho_{\text{в}}\cdot\frac{L - H}{L} = 1.00\cdot\frac{240 - 62}{240} = 0.74\ \text{г/см}^3.

Абсолютная погрешность числителя в этой формуле составляет 2 мм, так как при сложении и вычитании абсолютные погрешности складываются. Относительная погрешность числителя $\frac{2}{240 - 62} = 0.011 = 1.1\%$ . При делении физических величин складываются относительные погрешности. Следовательно, относительная погрешность измерения плотности $0.4\% + 1.1\% = 1.5\%$ . Окончательно для плотности:

\rho_{\text{п}} = 0.74 \pm 0.01\ \text{г/см}^3.

Определение массы трубки методом рычага. Для определения массы трубки $m$ с использованием правила моментов сил найдем положение $y$ центра масс палочки ( $y$ — расстояние от края палочки, на который в дальнейшем будет надета трубка). В авторском комплекте $y = 120 \pm 1$ мм, т.е. палочка является однородной. Наденем трубку на край палочки так, чтобы их торцы совпадали (заподлицо). Длина трубки $z = 49 \pm 1$ мм. Теперь определим положение центра масс системы палочка-трубка относительно того же торца: $x = 92 \pm 1$ мм. Правило моментов для этого случая имеет вид:

mg\left(x - \frac{z}{2}\right) = Mg(y - x),

откуда:

m = M\frac{y - x}{x - z/2} = 0.42\ \text{г}.

Абсолютная погрешность числителя этой дроби 2 мм, относительная $\frac{2}{28} = 0.07 = 7\%$ . Абсолютная погрешность знаменателя 1.5 мм. Относительная $\frac{1.5}{67.5} = 0.02 = 2\%$ . Относительная погрешность массы трубки $2\% + 7\% + 2\% = 11\%$ , $0.11\cdot 0.420 = 0.046$ г. Окончательно

m = 0.42 \pm 0.05\ \text{г}.

Определение массы трубки с помощью силы Архимеда. Опустим палочку с надетой трубкой в мерный стакан тяжелым концом вниз. Палочка должна плавать не касаясь дна. Измерим длину $h$ выступающей над водой части палочки $h = 42 \pm 1$ мм. Условие равновесия палочки:

(m + M)\,g = \rho_0 g\frac{\pi}{4}\left(D^2 z + d^2\,(L - z - h)\right),

где $D$ — внешний диаметр трубки на палочке, $d$ — диаметр палочки, $(L - z - h)$ — длина части палочки без трубки, находящейся в воде. $D$ и $d$ определим методом прокрутки, сделав десять оборотов с помощью двух линеек:

10\pi d = 85 \pm 1\ \text{мм},\qquad d = 2.71 \pm 0.03\ \text{мм},

относительная погрешность, $\frac{1}{85} = 0.012 = 1.2\%$ ,

10\pi D = 125 \pm 1\ \text{мм},\ D = 3.98 \pm 0.03\ \text{мм},

относительная погрешность $\frac{1}{125} = 0.008 = 0.8\%$ . Из условия равновесия палочки находим

m = \rho_0\frac{\pi}{4}\left(D^2 z + d^2\,(L - z - h)\right) - M = 0.45\ \text{г}.

Последовательно оценим погрешность:

Абсолютная погрешность $(L - z - h)$ равна 3 мм. Относительная $\frac{3}{149} = 0.02 = 2\%$ .
Относительная погрешность $d^2\,(L - z - h)$ равна $1.2\% + 1.2\% + 2\% = 4.4\%$ . Абсолютная погрешность $d^2\,(L - z - h)$ равна $2.71\cdot 2.71\cdot 149\cdot 0.044 = 48$ мм $^3$ .
Окончательно $d^2\,(L - z - h) = 1094 \pm 48$ мм $^3$ .
Относительная погрешность $D^2 z$ равна $0.8\% + 0.8\% + 2\% = 3.6\%$ . Абсолютная погрешность $D^2 z$ равна $3.98\cdot 3.98\cdot 49\cdot 0.036 = 28$ мм $^3$ .
Окончательно $D^2 z = 776 \pm 28$ мм $^3$ .
Абсолютная погрешность $\left(D^2 z + d^2\,(L - z - h)\right)$ равна $28 + 48 = 76$ мм $^3$ . Относительная погрешность $\left(D^2 z + d^2\,(L - z - h)\right)$ равна $\frac{76}{776 + 1094} = 0.041 = 4.1\%$ .
Абсолютная погрешность $\rho_0\frac{\pi}{4}\left(D^2 z + d^2\,(L - z - h)\right)$ равна $1\cdot\frac{3.14}{4}\,(1.094 + 0.776)\cdot 0.041 = 0.06$ г.
Абсолютная погрешность $\rho_0\frac{\pi}{4}\left(D^2 z + d^2\,(L - z - h)\right) - M$ (окончательного результата) равна $0.06 + 0.02 = 0.08$ г.
Итоговое значение: $m = 1\cdot\frac{3.14}{4}\,(1.094 + 0.776) - 1.02 = 0.45$ г.

m = 0.45 \pm 0.08\text{г}

Относительная погрешность результата, полученного с использованием силы Архимеда, равна 18%. Реальное значение массы трубки, полученное непосредственно с помощью весов $m = (0.44 \pm 0.02)$ г.

Оригинал в Архива: Ru23-R-E.pdf