Съдържание

ВсОШ 2023, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 8. 10-E2. Серый ящик

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2023

LVI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Экспериментальный тур · 28 януари 2023 г.

Титульный лист

Министерство просвещения Российской Федерации
Центральная предметно-методическая комиссия
Всероссийской олимпиады школьников по физике

LVI Всероссийская олимпиада школьников по физике

Региональный этап

Экспериментальный тур

Москва, 2023 г.

Авторы задач

Комплект задач подготовлен центральной предметно-методической комиссией
Всероссийской олимпиады школьников по физике
E-mail: physolymp@gmail.com

Экспериментальный тур

7-8 класс

7-E1. Сергей Кармазин
7-E2. Сергей Кармазин
8-E1. Сергей Кармазин
8-E2. Сергей Кармазин

9-11 класс

9-E1. Сергей Кармазин
9-E2. Сергей Кармазин
10-E1. Александр Аполонский, Максим Карманов
10-E2. Максим Карманов
11-E1. Александр Аполонский, Максим Карманов
11-E2. Александр Аполонский

Как готовиться к региональному этапу?

В МФТИ запущен классный проект «Физтех-регионам» (https://os.mipt.ru), где в публичном бесплатном доступе лежат лекции и семинары по всем классам и по всем темам. Там же выложены подборки задач по темам. Уровень материалов позволяет хорошо подготовиться к муниципальному и региональному этапу Всероссийской олимпиады школьников по физике.

Если вы школьник, просто пользуйтесь доступными материалами. Если вы преподаватель или сотрудник регионального органа образования, то МФТИ готов помочь организовать на базе вашей школы или центра по работе с талантливыми детьми кружок по физике. Занятия будут проходить по программе «Физтех-регионам», и МФТИ не берет никаких денег за эти материалы. Единственное, вам нужно будет обеспечить работу преподавателя. Подобным образом функционируют кружки уже в более чем 40 регионах России.

В этом году в рамках работы проекта сняты видео-решения (https://os.mipt.ru/#/phys/theme/9V1MmCFakz) экспериментального тура регионального этапа Всероссийской олимпиады школьников по физике. Используйте эти материалы для самоподготовки к будущим олимпиадам.

Условие

Оборудование: «серый ящик», мультиметр.

В выданном вам сером ящике собрана электрическая цепь, схема которой представлена на рисунке. Обозначения выводов на «сером ящике» соответствуют обозначениям на схеме.

Схема «серого ящика»: вывод А соединён резистором R1 с выводом Б и резистором R4 с выводом Д; между Б и Д включён резистор R2; между Б и В — резистор R3; между В и Г — резистор R6; между Д и Г — резистор R5.

При необходимости выводы серого ящика можно соединять друг с другом. С помощью имеющегося оборудования выполните следующие задания.

1. Определите, у какого из резисторов наименьшее сопротивление.

2. Найдите сопротивления всех резисторов и оцените их погрешности.

3. Как необходимо соединить выводы «серого ящика» друг с другом, чтобы сопротивление получившейся цепи между некоторыми двумя точками было равно $(167 \pm 5)$ Ом? Укажите, какие выводы необходимо соединить и между какими выводами при этом получится требуемое сопротивление.

Важно! В начале работы укажите номер выданного вам «серого ящика», если ящики занумерованы. Примечание: считайте, что погрешность мультиметра составляет 1% от измеряемой величины.

Отговори

Решение

Для начала найдем сопротивления 3, 5 и 6 резисторов. Для этого проделаем следующие опыты:

Измерим сопротивление $R_a$ между замкнутыми точками БД и замкнутыми точками ВГ. Полученная цепь представляет параллельное соединение 3 и 5 резисторов, поэтому $\frac{1}{R_a} = \frac{1}{R_3} + \frac{1}{R_5}$ .
Измерим сопротивление $R_{\text{б}}$ между замкнутыми точками БГ и точкой В. Полученная цепь представляет параллельное соединение 3 и 6 резисторов, поэтому $\frac{1}{R_{\text{б}}} = \frac{1}{R_3} + \frac{1}{R_6}$ .
Измерим сопротивление $R_{\text{в}}$ между замкнутыми точками ВД и точкой Г. Полученная цепь представляет параллельное соединение 5 и 6 резисторов, поэтому $\frac{1}{R_{\text{в}}} = \frac{1}{R_5} + \frac{1}{R_6}$ . Из первых трех опытов получим:

\frac{1}{R_3} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{R_{\text{а}}} + \frac{1}{R_{\text{б}}} - \frac{1}{R_{\text{в}}}\right),

откуда найдем $R_3$ , аналогично найдем $R_5$

\frac{1}{R_5} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{R_{\text{а}}} + \frac{1}{R_{\text{в}}} - \frac{1}{R_{\text{б}}}\right)

и $R_6$

\frac{1}{R_6} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{R_{\text{в}}} + \frac{1}{R_{\text{б}}} - \frac{1}{R_{\text{а}}}\right).

Теперь соединим вместе точки Б, В и Г. Получим треугольник из резисторов, две стороны треугольника представлены резисторами 1 и 4, а третья — параллельным соединением резисторов 2 и 5. Важно выбрать именно такой вариант, так как измеряя сопротивления между различными парами выводов можно определить, что сопротивления резисторов 1, 2 и 4 заметно меньше остальных. Для повышения точности к резистору 2 нужно присоединить параллельно максимально сравнимый с ним, то есть обладающий наименьшим сопротивлением из оставшихся. Получим эквивалентную схему:

Эквивалентная схема: вывод А соединён резистором R1 с точкой Б и резистором R4 с точкой Д; между Б и Д параллельно включены резисторы R2 и R5.

Дополнительно соединим точки Б и Д и измерим сопротивление $R_x$ между ними и точкой А.

\frac{1}{R_x} = \frac{1}{R_4} + \frac{1}{R_1}

Вместо Б и Д соединим Б и А и измерим сопротивление $R_y$ между ними и точкой Д.

\frac{1}{R_y} = \frac{1}{R_4} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_5}.

Вместо Б и А соединим Д и А и измерим сопротивление $R_z$ между ними и точкой Б.

\frac{1}{R_z} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_5}.

Теперь можно вычислить оставшиеся сопротивления.

\frac{1}{R_1} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{R_x} + \frac{1}{R_z} - \frac{1}{R_y}\right),

аналогично

\frac{1}{R_4} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{R_x} + \frac{1}{R_y} - \frac{1}{R_z}\right)

\frac{1}{R_2} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{R_z} + \frac{1}{R_y} - \frac{1}{R_x}\right) - \frac{1}{R_5}.

Для определения какие выводы нужно соединить, чтобы получить 167 Ом, рассчитаем для каждого резистора величину обратную его сопротивлению и посмотрим какие из них дают в сумме $\frac{1}{167}$ Ом $^{-1}$ . Из полученных значений следует, что идеально подходят $R_1$ и $R_2$ . То есть требуется соединить точки А, В, Г и Д и измерять сопротивление между ними и точкой Б. Также можно заметить, что число очень близкое к 167 Ом, мы получили при измерении $R_z$ .
Оценим погрешность. Погрешность измеряемых сопротивлений составляет 1%, тогда и погрешность величин, обратных к измеренным сопротивлениям тоже составляет 1%. Вычислим абсолютные погрешности величин $1/R$ по формуле $\Delta\left(\frac{1}{R}\right) = \frac{\varepsilon(R)}{R}$ . При сложении величин складываются их абсолютные погрешности, поэтому

\Delta\left(\frac{1}{R_1}\right) = \frac{1}{2}\left(\Delta\left(\frac{1}{R_x}\right) + \Delta\left(\frac{1}{R_y}\right) + \Delta\left(\frac{1}{R_z}\right)\right).

Тогда $\varepsilon\,(R_1) = \varepsilon\left(\frac{1}{R_1}\right) = \Delta\left(\frac{1}{R_1}\right)R_1$ , соответственно $\Delta\,(R_1) = \Delta\left(\frac{1}{R_1}\right)R_1^2$ . Для остальных сопротивлений погрешность вычисляется аналогично.

Измерения и расчеты (Авторские значение могут отличаться от выданного вам оборудования).

Что измеряли	Значение, кОм	$R^{-1}$ , кОм $^{-1}$	$\Delta(R^{-1})$ , кОм $^{-1}$
$R_{\text{а}}$	12.53	0.0798	0.000798
$R_{\text{б}}$	24.9	0.0402	0.000402
$R_{\text{в}}$	16.69	0.0599	0.000599
$R_x$	0.1239	8.0710	0.080710
$R_y$	0.242	4.1322	0.041322
$R_z$	0.1645	6.0790	0.060790

Что вычислили	Значение, кОм	$\Delta R$ , кОм	Ответ, кОм
$R_1$	0.199	0.004	$0.199 \pm 0.004$
$R_2$	0.979	0.09	$0.98 \pm 0.09$
$R_3$	33.5	1.0	$34 \pm 1$
$R_4$	0.326	0.01	$0.33 \pm 0.01$
$R_5$	20.5	0.4	$20.5 \pm 0.4$
$R_6$	97.1	8	$97 \pm 8$

Как видно из таблицы наименьшим сопротивлением обладает первый резистор.

Оригинал в Архива: Ru23-R-E.pdf