Съдържание

ВсОШ 2023, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 7.4. Догонялки

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2023

LVI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Теоретический тур · 30 януари 2023 г.

Титульный лист

Министерство просвещения Российской Федерации
Центральная предметно-методическая комиссия
Всероссийской олимпиады школьников по физике

LVI Всероссийская олимпиада школьников по физике

Региональный этап

Теоретический тур

Москва, 2023 г.

Авторы задач

Комплект задач подготовлен центральной предметно-методической комиссией Всероссийской олимпиады школьников по физике
E-mail: physolymp@gmail.com

Авторы задач

Теоретический тур

7-9 класс

7-T1. Александр Евсеев
7-T2. Денис Рубцов
7-T3. Валерий Слободянин
7-T4. Андрей Уймин
8-T1. Ольга Инишева
8-T2. Андрей Сеитов
8-T3. Александр Евсеев
8-T4. Александр Евсеев
9-T1. Валерий Слободянин
9-T2. Сергей Кармазин
9-T3. Александр Евсеев
9-T4. Александр Евсеев
9-T5. Андрей Уймин

10-11 класс

10-T1. Алексей Заяц
10-T2. Алексей Заяц
10-T3. Сергей Муравьев, Максим Карманов, А. Соколов
10-T4. Андрей Уймин
10-T5. Юрий Черников
11-T1. Александр Аполонский
11-T2. Александр Аполонский
11-T3. Андрей Уймин
11-T4. Константин Соломатин
11-T5. Андрей Уймин

Как готовиться к региональному этапу?

В МФТИ запущен классный проект «Физтех-регионам» (https://os.mipt.ru), где в публичном бесплатном доступе лежат лекции и семинары по всем классам и по всем темам. Там же выложены подборки задач по темам. Уровень материалов позволяет хорошо подготовиться к муниципальному и региональному этапу Всероссийской олимпиады школьников по физике.

В этом году в рамках работы проекта сняты видеорешения (https://os.mipt.ru/#/phys/theme/9V1MmCFakz) теоретического тура регионального этапа Всероссийской олимпиады школьников по физике. Используйте эти материалы для самоподготовки к будущим олимпиадам.

Заголовок раздела

Возможные решения

Условие

Два автомобиля одновременно начинают движение из пункта $A$ в пункт $B$ по прямолинейной дороге. Известно, что первый автомобиль едет с постоянной скоростью $v_1$ не останавливаясь до пункта $B$ . В пункте $B$ он останавливается и ждёт прибытия второго автомобиля. Второй автомобиль движется с постоянной скоростью $v_2$ , меньшей чем $v_1$ . Через некоторое время он останавливается, и, когда первый автомобиль достигает пункта $B$ , вновь продолжает движение с той же скоростью $v_2$ .

График зависимости расстояния $S$, км (от 0 до 8) от времени $t$, мин. (от 0 до 14) на сетке: красная ломаная идёт из начала координат в точку (2; 1,2), затем в точку (4; 4,2); на оси времени красной точкой отмечен момент 14 мин.

На рисунке приведен график зависимости расстояния между автомобилями от времени вплоть до момента $t_1 = 4$ мин. В момент времени $t_2 = 14$ мин. автомобили встретились.

1. Определите скорости автомобилей $v_1$ и $v_2$ .

2. В течение какого времени $\Delta t$ второй автомобиль покоился?

3. Найдите расстояние $L$ между пунктами $A$ и $B$ .

Отговори

Решение

Введём обозначения: $T_1$ — всё время в пути первого автомобиля, $T_2$ — всё время в пути второго автомобиля, $\tau_2$ — время движения второго автомобиля до остановки. Согласно условию задачи:

T_1 = \tau_2 + \Delta t;

T_2 = t_2 = 14\ \text{мин}.

Из графика (точка излома): $\tau_2 = 2$ мин. В течении этого времени расстояние между автомобилями меняется с относительной скоростью $(v_1 - v_2)$ . За 2 минуты оно станет равным (из графика) $S_1 = 1.2$ км. Получаем первое уравнение связи скоростей:

S_1 = (v_1 - v_2)\tau_2.

После этого из графика видно, что за следующие 2 минуты первый автомобиль уехал от стоящего второго ещё на

S_2 = 4.2\ \text{км} - 3.2\ \text{км} = 3\ \text{км}.

Это нам позволяет найти скорость первого автомобиля:

v_1 = \frac{3\ \text{км}}{2\ \text{мин.}} = 1.5\ \text{км/мин.}

тогда из уравнения для связи скоростей можно найти скорость второго автомобиля:

v_2 = 1.5\ \frac{\text{км}}{\text{мин.}} - \frac{1.2\ \text{км}}{2\ \text{мин.}} = 0.9\ \text{км/мин.}

Теперь запишем формулы для расчёта пути из $A$ в $B$ :

L = v_1 T_1 = v_1(\tau_2 + \Delta t);

L = v_2(T_2 - \Delta t).

Приравняем правые части уравнений и найдём время остановки:

\Delta t = \frac{v_2 T_2 - v_1 T_1}{v_1 + v_2} = 4\ \text{мин}.

Также $\Delta t$ можно найти графически. На рисунке качественно показан график движения автомобилей. Рассмотрим построение графика согласно условию задачи.

Качественный график движения $S(t)$: первый автомобиль — отрезок $OE$ до уровня $L$ и горизонтальный участок $EF$; второй — отрезок $OC$, горизонтальный участок $CD$ и отрезок $DF$; пунктиром отмечены уровень $L$, моменты $\tau_2$, $T_1$, $T_2$ на оси $t$ и точка $G$.

Известно, что первый автомобиль едет быстрее второго (угловой коэффициент прямой $OE$ больше, чем у прямой $OC$ ) с постоянной скоростью $v_1$ вплоть до пункта $B$ (точка $E$ ), а затем останавливается (участок $EF$ ). Второй автомобиль некоторое время движется с постоянной скоростью $v_2$ (участок $OC$ ), останавливается (участок $CD$ ), и когда первый автомобиль достигает пункта $B$ , вновь продолжает движение (точка $D$ ) с той же скоростью $v_2$ (угловые коэффициенты прямых $OC$ и $DF$ совпадают). В момент времени $t_2 = 14$ мин. автомобили поравнялись (точка $F$ ). Зная скорости автомобилей и время движения второго до остановки, можно определить положение точки $G$ и провести через неё прямую $GE$ с угловым коэффициентом $-v_2$ до пересечения с графиком движения первого автомобиля. На рисунке ниже показано это построение. Время остановки второго автомобиля 4 мин легко найти из построения.

Построение на сетке: $S$, км (0–10) от $t$, мин (0–16); сплошной отрезок от начала координат до точки $C$ (2; 1,8), пунктирные линии через $D$ (6; 1,8) и $G$ (14; 1,8), пунктирная прямая от начала координат до $E$ (6; 9) и пунктирная прямая от $E$ до $G$; от $E$ и $G$ опущены пунктирные вертикали.

Теперь можно найти длину пути:

L = v_2(T_2 - \Delta t) = 9\ \text{км}.

Если решать с использованием графика, то из построения также легко найти расстояние между пунктами $A$ и $B$ — 9 км.

Оригинал в Архива: Ru23-R-T.pdf