Съдържание

ВсОШ 2023, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 10.1. Зонд

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2023

LVI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Теоретический тур · 30 януари 2023 г.

Титульный лист

Министерство просвещения Российской Федерации
Центральная предметно-методическая комиссия
Всероссийской олимпиады школьников по физике

LVI Всероссийская олимпиада школьников по физике

Региональный этап

Теоретический тур

Москва, 2023 г.

Авторы задач

Комплект задач подготовлен центральной предметно-методической комиссией Всероссийской олимпиады школьников по физике
E-mail: physolymp@gmail.com

Авторы задач

Теоретический тур

7-9 класс

7-T1. Александр Евсеев
7-T2. Денис Рубцов
7-T3. Валерий Слободянин
7-T4. Андрей Уймин
8-T1. Ольга Инишева
8-T2. Андрей Сеитов
8-T3. Александр Евсеев
8-T4. Александр Евсеев
9-T1. Валерий Слободянин
9-T2. Сергей Кармазин
9-T3. Александр Евсеев
9-T4. Александр Евсеев
9-T5. Андрей Уймин

10-11 класс

10-T1. Алексей Заяц
10-T2. Алексей Заяц
10-T3. Сергей Муравьев, Максим Карманов, А. Соколов
10-T4. Андрей Уймин
10-T5. Юрий Черников
11-T1. Александр Аполонский
11-T2. Александр Аполонский
11-T3. Андрей Уймин
11-T4. Константин Соломатин
11-T5. Андрей Уймин

Как готовиться к региональному этапу?

В МФТИ запущен классный проект «Физтех-регионам» (https://os.mipt.ru), где в публичном бесплатном доступе лежат лекции и семинары по всем классам и по всем темам. Там же выложены подборки задач по темам. Уровень материалов позволяет хорошо подготовиться к муниципальному и региональному этапу Всероссийской олимпиады школьников по физике.

В этом году в рамках работы проекта сняты видеорешения (https://os.mipt.ru/#/phys/theme/9V1MmCFakz) теоретического тура регионального этапа Всероссийской олимпиады школьников по физике. Используйте эти материалы для самоподготовки к будущим олимпиадам.

Заголовок раздела

Возможные решения

Условие

Экспериментатор Глюк сконструировал атмосферный зонд, состоящий из шара объёмом $V = 20$ м $^3$ , заполненного гелием при давлении $p_0 = 100$ кПа и температуре $T_0 = 300$ К, и подвешенного к нему набора метеорологических датчиков.

1. При какой максимальной массе датчиков зонд сможет подняться на высоту 4 км?

2. На какую максимальную высоту сможет подняться такой шар без датчиков?

График зависимости давления воздуха от высоты над поверхностью земли представлен на рисунке. Считайте, что температура воздуха линейно уменьшается с высотой от 300 К (у поверхности Земли) до 220 К (на высоте 10 км). Оболочка шара является тонкой, нерастяжимой и непроницаемой для газов. Температуру газа внутри шара считать равной температуре окружающего воздуха. Объёмом датчиков при расчётах можно пренебречь. Масса оболочки шара равна $m_0 = 8$ кг, молярная масса гелия $M_{\text{г}} = 4$ г/моль, молярная масса воздуха $M_{\text{в}} = 29$ г/моль, универсальная газовая постоянная $R = 8{,}31$ Дж/(К · моль). Считайте, что ускорение свободного падения не меняется с высотой.

График зависимости давления воздуха $p$, кПа (от 20 до 100) от высоты $h$, км (от 0 до 10) на миллиметровой сетке: красная убывающая выпуклая вниз кривая от 100 кПа при $h = 0$ примерно до 26 кПа при $h = 10$ км.

Отговори

Решение

Температура падает с высотой со скоростью $k = 8$ К/км. На высоте $h_1 = 4$ км, следовательно, температура равна $T_1 = 268$ К, а давление (по графику) $p_1 \approx 62$ кПа. Плотность воздуха на этой высоте равна

\rho_{\text{в}1} = \frac{p_1 M_{\text{в}}}{RT_1}.

Масса гелия в шаре $m_{\text{г}}$ в процессе подъёма не меняется, поэтому

m_{\text{г}} = \frac{p_0 M_{\text{г}} V}{RT_0}.

Запишем условие равновесия зонда на заданной высоте:

\rho_{\text{в}1} gV = (m_{\text{г}} + m_0 + m_{\text{д}})g

Откуда

m_{\text{д}} = \rho_{\text{в}1}V - m_{\text{г}} - m_0 = \frac{p_1 M_{\text{в}} V}{RT_1} - \frac{p_0 M_{\text{г}} V}{RT_0} - m_0 = 4.9\ \text{кг}.

Без датчиков шар будет подниматься, пока не станет справедливым новое условие равновесия

\rho_{\text{в}} gV = (m_{\text{г}} + m_0)g.

Отсюда следует, что

\frac{p(h)M_{\text{в}}}{RT(h)} = \frac{m_{\text{г}} + m_0}{V} \qquad\Rightarrow\qquad p(h) = \frac{(m_{\text{г}} + m_0)R}{M_{\text{в}}V}\cdot(T_0 - kh) \approx 48\ \text{кПа} - 1.3\ \frac{\text{кПа}}{\text{км}}\cdot h.

Для нахождения высоты построим поверх графика зависимости $p(h)$ прямую, соответствующую полученному уравнению, и найдем, что максимальная высота равна примерно 7.6 км.

Примечание: на графике (толстая линия) изображена функция $p(h) = p_0(1 - kh/T_0)^{\frac{M_{\text{в}}g}{kR}}$ , задающая распределение давления по высоте при зависимости температуры $T(h) = T_0 - kh$ .

Сетка $p$, кПа (20–100) от $h$, км (0–10): толстая красная кривая убывает от 100 кПа при $h = 0$ до ≈27 кПа при $h = 10$ км; тонкая красная прямая убывает от 48 кПа при $h = 0$ до 35 кПа при $h = 10$ км; они пересекаются при $h \approx 7{,}6$ км.

Оригинал в Архива: Ru23-R-T.pdf