Съдържание

ВсОШ 2023, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 10. 11-E2. Колебания кольца

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2023

LVI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Экспериментальный тур · 28 януари 2023 г.

Титульный лист

Министерство просвещения Российской Федерации
Центральная предметно-методическая комиссия
Всероссийской олимпиады школьников по физике

LVI Всероссийская олимпиада школьников по физике

Региональный этап

Экспериментальный тур

Москва, 2023 г.

Авторы задач

Комплект задач подготовлен центральной предметно-методической комиссией
Всероссийской олимпиады школьников по физике
E-mail: physolymp@gmail.com

Экспериментальный тур

7-8 класс

7-E1. Сергей Кармазин
7-E2. Сергей Кармазин
8-E1. Сергей Кармазин
8-E2. Сергей Кармазин

9-11 класс

9-E1. Сергей Кармазин
9-E2. Сергей Кармазин
10-E1. Александр Аполонский, Максим Карманов
10-E2. Максим Карманов
11-E1. Александр Аполонский, Максим Карманов
11-E2. Александр Аполонский

Как готовиться к региональному этапу?

В МФТИ запущен классный проект «Физтех-регионам» (https://os.mipt.ru), где в публичном бесплатном доступе лежат лекции и семинары по всем классам и по всем темам. Там же выложены подборки задач по темам. Уровень материалов позволяет хорошо подготовиться к муниципальному и региональному этапу Всероссийской олимпиады школьников по физике.

Если вы школьник, просто пользуйтесь доступными материалами. Если вы преподаватель или сотрудник регионального органа образования, то МФТИ готов помочь организовать на базе вашей школы или центра по работе с талантливыми детьми кружок по физике. Занятия будут проходить по программе «Физтех-регионам», и МФТИ не берет никаких денег за эти материалы. Единственное, вам нужно будет обеспечить работу преподавателя. Подобным образом функционируют кружки уже в более чем 40 регионах России.

В этом году в рамках работы проекта сняты видео-решения (https://os.mipt.ru/#/phys/theme/9V1MmCFakz) экспериментального тура регионального этапа Всероссийской олимпиады школьников по физике. Используйте эти материалы для самоподготовки к будущим олимпиадам.

Условие

Оборудование: пластмассовое кольцо (внешний диаметр известен $D = 110$ мм), набор гаек (М8 — 1 шт, М10 — 6 шт; их массы указаны на установке), скотч, секундомер, миллиметровая бумага для построения графика.

Если установить кольцо вертикально на горизонтальную поверхность, закрепив в нижней части кольца небольшой груз, то при отклонении на небольшой угол от положения равновесия, кольцо, перекатываясь, будет совершать колебания. Период этих колебаний зависит от отношения масс $M/m$ кольца и груза.

Рисунок: кольцо массы M стоит вертикально на горизонтальной поверхности (штриховка); в нижней точке кольца закреплён груз m, двусторонняя дуговая стрелка показывает колебания.

0. Укажите массы гаек М8 и М10, которые указаны у вас на установке. Запишите номер своей установки, если он указан.

1. Определите период колебаний кольца при различных массах груза (не менее 5 значений). Оцените погрешности.

2. Получите теоретическое выражение для периода колебаний.

3. Используя графическую обработку полученных экспериментальных данных, проверьте их соответствие теоретической модели.

4. Используя результаты п. 3, определите массу пластмассового кольца и оцените её погрешность.

Отговори

Решение

В таблице приведены результаты измерений периода колебаний кольца при различных массах груза. В качестве груза использовались гайки, который закреплялись на внутренней поверхности кольца с помощью небольшой полоски скотча.

М8, шт.	М10, шт.	$m$ , г	$N$	$t_1$ , с	$t_2$ , с	$t_3$ , с	$t_4$ , с	$t_5$ , с	$T_{\text{ср}}$ , с
1	0	4.5	5	8.84	9.04	9.28	9.06	9.24	1.82
0	1	10.2	5	6.36	6.49	6.57	6.60	6.30	1.29
0	2	20.4	10	9.30	9.50	9.22	9.38	9.42	0.94
0	3	30.6	10	7.77	7.76	7.81	7.81	7.90	0.78
0	4	40.8	10	6.70	6.85	6.87	6.87	6.98	0.69
0	6	61.2	10	5.85	5.62	5.75	5.77	5.78	0.58

При повороте кольца относительно положения равновесия на угол $\varphi$ потенциальная энергия груза увеличивается на $\Delta E_{\text{п}} = mgR(1 - \cos\varphi)$ . При малых $\varphi$ $\cos\varphi \approx 1 - \frac{\varphi^2}{2}$ . Отсюда $\Delta E_{\text{п}} \approx mgR\frac{\varphi^2}{2}$ . При малых колебаниях кинетической энергией груза можно пренебречь, так как его скорость составляет величину порядка $R\varphi\dot{\varphi}$ , соответственно его кинетическая энергия — величина порядка $\frac{mR^2(\varphi\dot{\varphi})^2}{2}$ — много меньше кинетической энергии всего кольца $E_{\text{к}} = MR^2\dot{\varphi}^2$ . Закон сохранения энергии при колебаниях

MR^2\dot{\varphi}^2 + mgR\frac{\varphi^2}{2} = \text{const}.

Отсюда

T = 2\pi\sqrt{\frac{2MR}{mg}}.

Из полученного в п.2 выражения $T = Am^{-0.5}$ , где $A = 2\pi\sqrt{\frac{2MR}{g}}$ , после возведения в квадрат получаем

T^2 = \frac{8\pi^2 MR}{g}\cdot\frac{1}{m}.

При соответствии экспериментальных данных этой теоретической модели зависимость $T^2\left(\frac{1}{m}\right)$ должна быть линейной с угловым коэффициентом $k = \frac{8\pi^2 MR}{g}$ . Результаты такой обработки экспериментальных данных представлены в таблице и на графике.

$T^2$ , с $^2$	3.3	1.7	0.88	0.61	0.48	0.34
$m^{-1}$ , кг $^{-1}$	222	98	49	32.8	24.5	16.3

График T², с² (по вертикали, 0–4) от 1/m, кг⁻¹ (по горизонтали, 0–250): синие экспериментальные точки с вертикальными отрезками погрешностей при 1/m ≈ 16, 24, 33, 49, 98, 222; красная прямая из начала координат и две тонкие синие вспомогательные прямые.

Погрешность определения значения $T^2$ оценим как $\Delta(T^2) = 2T\Delta T$ , где $\Delta T = \sqrt{(\Delta T_{\text{сист}})^2 + (\Delta T_{\text{сл}})^2}$ . Величину $\Delta T_{\text{сист}}$ считаем равной $\frac{\Delta t}{N} \approx 0.05$ с ( $\Delta t$ — погрешность определения времени 10 колебаний), случайная погрешность данных много меньше $\Delta T_{\text{сл}} \ll \Delta T_{\text{сист}}$ . График зависимости $T^2\left(\frac{1}{m}\right)$ с учетом погрешности $T^2$ представлен на рисунке. Определенное по графику значение углового коэффициента $k = 0.016 \pm 0.001$ кг $\cdot$ с $^2$ . Отсюда масса пластмассового кольца $M = 36 \pm 2$ г.

Оригинал в Архива: Ru23-R-E.pdf