Съдържание

ВсОШ 2023, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 9.5. Движение по спице

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2023

LVI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Теоретический тур · 30 януари 2023 г.

Титульный лист

Министерство просвещения Российской Федерации
Центральная предметно-методическая комиссия
Всероссийской олимпиады школьников по физике

LVI Всероссийская олимпиада школьников по физике

Региональный этап

Теоретический тур

Москва, 2023 г.

Авторы задач

Комплект задач подготовлен центральной предметно-методической комиссией Всероссийской олимпиады школьников по физике
E-mail: physolymp@gmail.com

Авторы задач

Теоретический тур

7-9 класс

7-T1. Александр Евсеев
7-T2. Денис Рубцов
7-T3. Валерий Слободянин
7-T4. Андрей Уймин
8-T1. Ольга Инишева
8-T2. Андрей Сеитов
8-T3. Александр Евсеев
8-T4. Александр Евсеев
9-T1. Валерий Слободянин
9-T2. Сергей Кармазин
9-T3. Александр Евсеев
9-T4. Александр Евсеев
9-T5. Андрей Уймин

10-11 класс

10-T1. Алексей Заяц
10-T2. Алексей Заяц
10-T3. Сергей Муравьев, Максим Карманов, А. Соколов
10-T4. Андрей Уймин
10-T5. Юрий Черников
11-T1. Александр Аполонский
11-T2. Александр Аполонский
11-T3. Андрей Уймин
11-T4. Константин Соломатин
11-T5. Андрей Уймин

Как готовиться к региональному этапу?

В МФТИ запущен классный проект «Физтех-регионам» (https://os.mipt.ru), где в публичном бесплатном доступе лежат лекции и семинары по всем классам и по всем темам. Там же выложены подборки задач по темам. Уровень материалов позволяет хорошо подготовиться к муниципальному и региональному этапу Всероссийской олимпиады школьников по физике.

В этом году в рамках работы проекта сняты видеорешения (https://os.mipt.ru/#/phys/theme/9V1MmCFakz) теоретического тура регионального этапа Всероссийской олимпиады школьников по физике. Используйте эти материалы для самоподготовки к будущим олимпиадам.

Заголовок раздела

Возможные решения

Условие

Материальные точки $B$ и $C$ связаны нерастяжимыми нитями $AB$ и $BC$ . Точка $C$ может скользить по неподвижной длинной вертикальной спице, на которой также закреплён конец $A$ нити $AB$ . В момент, показанный на рисунке, нить $BC$ образует угол $\varphi = 30^{\circ}$ с вертикалью и перпендикулярна нити $AB$ , скорость точки $C$ направлена вниз и равна $v$ , тангенциальное ускорение точки $B$ равно $a_\tau$ , и точка $B$ движется в плоскости рисунка. Нити натянуты. Оказалось, что ускорение точки $C$ в рассматриваемый момент равняется нулю.

Вертикальная спица с закреплённой точкой $A$ вверху и точкой $C$ ниже; нить $AB$ идёт от $A$ вправо вниз к точке $B$, нить $BC$ — от $B$ к $C$, между нитями прямой угол; угол $\varphi$ между $BC$ и вертикалью у точки $C$; у $C$ стрелка скорости $\vec v$ вниз.

1. Определите модуль скорости $v_B$ точки $B$ в рассматриваемый момент.

2. Определите длину $l_{BC}$ нити $BC$ .

3. Определите модуль ускорения $a_B$ точки $B$ в рассматриваемый момент.

Отговори

Решение

Так как точка $A$ закреплена, а нить $AB$ натянута, то точка $B$ движется по окружности с центром в точке $A$ и радиусом $l_{AB}$ . Следовательно, её скорость в рассматриваемый момент перпендикулярна радиусу окружности, то есть нити $AB$ , и поэтому направлена вдоль нити $BC$ , перпендикулярной нити $AB$ . Найти скорость точки $B$ можно двумя способами.

Вертикальная спица с точками $A$ (вверху) и $C$ (внизу); нити $AB$ ($l_{AB}$) и $BC$ ($l_{BC}$) с прямым углом при $B$; угол $\varphi$ при $C$; красные векторы $\vec{a}_n$ (вдоль $BA$) и $\vec{a}_\tau$ (вдоль $BC$), синий вектор $\vec{v}_B$ вдоль $BC$; у точки $C$ синий вектор $\vec{v}$ вниз.

Первый способ: поскольку нить $BC$ нерастяжима и натянута, то проекции скоростей точек $B$ и $C$ на неё равны. Проекция скорости точки $C$ на нить $BC$ равна $v\cos\varphi$ , так что $v_B = v\cos\varphi$ .

Второй способ: перейдем в систему отсчета точки $C$ , то есть в поступательно движущуюся систему отсчёта, в которой точка $C$ покоится. Скорости $\vec{v}_B$ и $\vec{v}'_B$ точки $B$ в исходной и новой системах отсчёта соответственно связаны соотношением $\vec{v}_B = \vec{v}'_B + \vec{v}_C$ , где $\vec{v}_C$ — скорость точки $C$ в исходной системе отсчёта. В новой системе отсчёта точка $C$ покоится, нить $BC$ натянута, так что точка $B$ движется по окружности с центром в точке $C$ и радиусом $l_{BC}$ . При этом скорость точки $B$ в новой системе отсчёта направлена перпендикулярно радиусу окружности — нити $BC$ . Значит, скорости $\vec{v}_B$ , $-\vec{v}$ и $\vec{v}_B - \vec{v} = \vec{v}'_B$ образуют прямоугольный треугольник с углом $\varphi$ между $\vec{v}$ и $\vec{v}_B$ , в котором $\vec{v}$ является гипотенузой. В таком случае $v_B = v\cos\varphi$ .

Та же конфигурация в системе отсчёта точки $C$: красные векторы $\vec{a}'_\tau$ вдоль $BA$ и $\vec{a}'_n = \vec{a}_\tau$ вдоль $BC$; синие векторы $\vec{v}_B$ и $-\vec{v}$ (вверх), зелёный вектор $\vec{v}'_B$, образующие прямоугольный треугольник с углом $\varphi$; у точки $C$ синий вектор $\vec{v}$ вниз.

v_B = v\cos\varphi = \frac{v\sqrt{3}}{2}

Теперь определим длину нити $BC$ . Для этого перейдём в систему отсчёта точки $C$ , в точности как в Варианте 2 в предыдущем пункте. Поскольку новая система отсчёта поступательно движется относительно исходной, то ускорения $\vec{a}_B$ и $\vec{a}'_B$ точки $B$ в исходной и новой системах отсчёта соответственно связаны соотношением $\vec{a}_B = \vec{a}'_B + \vec{a}_C$ , где $\vec{a}_C$ — ускорение точки $C$ в исходной системе отсчёта. Так как точка $B$ движется по окружности с центром в точке $C$ в новой системе отсчёта, то её ускорение складывается из тангенциального ускорения $\vec{a}'_\tau$ , направленного вдоль нити $AB$ , и ортогонального ему нормального ускорения $\vec{a}'_n$ , направленного к точке $C$ вдоль нити $BC$ . По условию в исходный момент $\vec{a}_C = 0$ , так что $\vec{a}_B = \vec{a}'_B$ . Также дано, что ускорение точки $B$ , направленное вдоль нити $BC$ , равно $a_\tau$ . Значит, нормальное ускорение точки $B$ в новой системе отсчёта равно $a_\tau$ . С другой стороны, оно равно

\frac{(v'_B)^2}{l_{BC}} = \frac{(v\sin\varphi)^2}{l_{BC}},

где равенство $v'_B = v\sin\varphi$ получается из геометрии прямоугольного треугольника, образованного скоростями $\vec{v}_B$ , $-\vec{v}$ и $\vec{v}'_B$ . Таким образом,

a_\tau = \frac{(v\sin\varphi)^2}{l_{BC}} \quad\Longrightarrow\quad l_{BC} = \frac{v^2\sin^2\varphi}{a_\tau}.

l_{BC} = \frac{v^2\sin^2\varphi}{a_\tau} = \frac{v^2}{4a_\tau}

Определим полное ускорение точки $B$ в исходной системе отсчёта. Поскольку в исходной системе отсчёта точка $B$ движется по окружности с центром в точке $A$ , то её полное ускорение складывается из двух ортогональных составляющих: тангенциального ускорения $a_\tau$ и нормального ускорения, направленного вдоль нити $AB$ к точке $A$ и равного

a_n = \frac{v_B^2}{l_{AB}} = \frac{v^2\cos^2\varphi}{l_{BC}\cdot\operatorname{tg}\varphi} = \frac{a_\tau\cos^3\varphi}{\sin^3\varphi} = a_\tau\operatorname{ctg}^3\varphi.

Равенство $l_{AB} = l_{BC}\cdot\operatorname{tg}\varphi$ получается из геометрии прямоугольного треугольника $ABC$ . Полное ускорение точки $B$ находим по теореме Пифагора

a_B = \sqrt{a_n^2 + a_\tau^2} = a_\tau\cdot\sqrt{1 + \operatorname{ctg}^6\varphi} = 2\sqrt{7}a_\tau.

Оригинал в Архива: Ru23-R-T.pdf