ВсОШ 2023, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 11.1. Вращающаяся гильза

• 1. $v_{\min} = \sqrt{\sqrt{\frac{(\omega_0 R)^4}{4} + 4\left(\frac{F_0 l}{m}\right)^2} - \frac{(\omega_0 R)^2}{2}}$
• 2. $\omega_1 = \frac{\omega_0}{\sqrt{2}}$
• 3. $\tau = \sqrt{\frac{ml\sqrt{(\omega_0 R)^2 + v_0^2}}{F_0 v_0}}\arcsin\left(\sqrt{\frac{F_0 l}{mv_0\sqrt{(\omega_0 R)^2 + v_0^2}}}\right)$

Скорость точек на внешней поверхности гильзы направлена к оси гильзы под углом $\alpha = \operatorname{arctg}\frac{\omega R}{v}$. Сила трения, действующая на элементы поверхности гильзы, направлена противоположно их скорости, а значит, не изменяет угол между векторами скоростей точек гильзы и её осью, а влияет лишь на модули этих скоростей. Следовательно, в процессе торможения гильзы отношение скорости ее поступательного движения и линейной скорости вращательного движения точек ее поверхности остается неизменной: $\frac{\omega R}{v} = \frac{\omega_0 R}{v_0}$.

Так как это обстоятельство очень важно для решения, приведем другой возможный способ его обоснования. Сила трения скольжения, в силу информации о постоянстве сил нормальной реакции стенок отверстия, для каждого малого элемента поверхности гильзы имеет постоянную величину и направлена против его скорости. Действие сил трения можно разделить на торможение поступательного движения (результирующая сила $F_x(x) = F(x)\cos\alpha$) и торможение вращения гильзы (тормозящий момент равен моменту силы $F_\perp(x) = F(x)\sin\alpha$). Поэтому ускорения, с которыми уменьшаются скорость ее поступательного движения $v_x = v\cos\alpha$ и линейная скорость вращательного движения точек ее поверхности $v_\perp = \omega R = v\sin\alpha$, пропорциональны этим скоростям. Следовательно, отношение величин этих скоростей остается неизменным:

Поэтому и $\operatorname{tg}\alpha = \frac{v_\perp}{v_x} = const$.

В направлении поступательного движения ускорение гильзы определяется проекцией силы трения

Поэтому движения вращающейся гильзы в направлении оси аналогично движению невращающейся гильзы при действии «уменьшенной» силы $F_x(x)$. Минимальное значение скорости $v_{\min}$ при учете этого можно найти из закона сохранения энергии:

Из этого уравнения находим

Для ответа на второй вопрос достаточно заметить, что угловая скорость и скорость поступательного движения гильзы всё время связаны соотношением $\frac{\omega}{v} = \frac{\omega_0}{v_0}$. В момент полного погружения скорость поступательного движения $v_1$ в $\sqrt{2}$ раз меньше начальной скорости $v_0 = v_{\min}$, так как работа сил трения к этому моменту составляет ровно половину от величины работы до момента вылета. Поэтому

При движении гильзы внутри отверстия до момента полного проникновения ее внутрь плиты сила $F_x$ линейно увеличивается. Ускорение гильзы

Это формула совпадает с уравнением гармонических колебаний с циклической частотой

Координата переднего среза гильзы зависит от времени как

где $x_0$ определяется при этом из условия $x_0 = \frac{v_0}{\Omega} = v_0\sqrt{\frac{ml}{F_0\cos\alpha}}$. Тогда до момента полного погружения гильзы в отверстие

и время погружения $\tau$ находится из уравнения