ВсОШ 2023, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 11.4. Цилиндр и нелинейная плотность заряда

• $F = \frac{q\sigma_0}{2\varepsilon_0}\left(1 - \frac{R}{\sqrt{R^2 + H^2}}\right)$

  Сила направлена вниз вдоль оси цилиндра (против оси $x$, от точки $B$ к точке $O$). В итоговой формуле официального решения напечатано $q\sigma$ вместо $q\sigma_0$ (ср. выражение для $E_1 + E_2$).

Цилиндр можно разделить на тонкие параллельные основанию кольца, напряженность каждого из которых будет направлена в точке $O$ вниз, а в точке $B$ вверх вдоль оси цилиндра — в силу осевой симметрии в распределении заряда. Соответственно сила, действующая на отрицательный заряд в точке $B$, направлена так же, как и сила, действующая на положительный заряд в точке $O$ — вниз вдоль оси цилиндра, или против оси x на рисунке. Точно также — противоположно оси $x$ — направлена и суммарная сила, действующая на диполь.

Пусть $E_1$ — величина напряженности поля цилиндра в точке $O$, а $E_2$ – величина напряженности в точке $B$. Тогда величина силы, действующей на диполь, $F = q(E_1 + E_2)$ . Наложим на наш цилиндр еще один такой же, с поверхностной плотностью заряда симметричной исходному цилиндру: $\sigma'(x) = \sigma(H - x)$. В результате сложения получится цилиндр, равномерно заряженный по поверхности с плотностью заряда $\sigma_0$:

При этом по принципу суперпозиции в центре каждого из оснований будет одинаковая по величине напряженность, равная нужной нам для вычисления силы величине $E = E_1 + E_2$.

Поле в центре основания однородно заряженного цилиндра определим через скорость изменения потенциала по формуле: $E_x = -\Delta\varphi/\Delta x$. Заметим, что, если сдвинуть точку В вверх на $\Delta x$, то это равносильно смещению цилиндра, то есть исчезновению вверху кольца с зарядом $\Delta q$ (обозначено на рисунке пунктирной линией) и прибавлению такого же кольца внизу. Разность потенциалов двух выделенных колец равна $\Delta\varphi = \varphi_+ - \varphi_- = \dfrac{\Delta q}{4\pi\varepsilon_0 r} - \dfrac{\Delta q}{4\pi\varepsilon_0 R}$, причем $\Delta q = \sigma_0\cdot 2\pi R\cdot\Delta x$. Таким образом,

и величина силы

Участники, знакомые с интегрированием, могут вычислить $E_1 + E_2$ непосредственно из принципа суперпозиции, складывая напряженности отдельных колец $dE_x = \dfrac{dq\cdot x}{4\pi\varepsilon_0(x^2 + R^2)^{3/2}}$: