Съдържание

ВсОШ 2023, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 11.5. Движение в скрещенных полях

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2023

LVI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Теоретический тур · 30 януари 2023 г.

Титульный лист

Министерство просвещения Российской Федерации
Центральная предметно-методическая комиссия
Всероссийской олимпиады школьников по физике

LVI Всероссийская олимпиада школьников по физике

Региональный этап

Теоретический тур

Москва, 2023 г.

Авторы задач

Комплект задач подготовлен центральной предметно-методической комиссией Всероссийской олимпиады школьников по физике
E-mail: physolymp@gmail.com

Авторы задач

Теоретический тур

7-9 класс

7-T1. Александр Евсеев
7-T2. Денис Рубцов
7-T3. Валерий Слободянин
7-T4. Андрей Уймин
8-T1. Ольга Инишева
8-T2. Андрей Сеитов
8-T3. Александр Евсеев
8-T4. Александр Евсеев
9-T1. Валерий Слободянин
9-T2. Сергей Кармазин
9-T3. Александр Евсеев
9-T4. Александр Евсеев
9-T5. Андрей Уймин

10-11 класс

10-T1. Алексей Заяц
10-T2. Алексей Заяц
10-T3. Сергей Муравьев, Максим Карманов, А. Соколов
10-T4. Андрей Уймин
10-T5. Юрий Черников
11-T1. Александр Аполонский
11-T2. Александр Аполонский
11-T3. Андрей Уймин
11-T4. Константин Соломатин
11-T5. Андрей Уймин

Как готовиться к региональному этапу?

В МФТИ запущен классный проект «Физтех-регионам» (https://os.mipt.ru), где в публичном бесплатном доступе лежат лекции и семинары по всем классам и по всем темам. Там же выложены подборки задач по темам. Уровень материалов позволяет хорошо подготовиться к муниципальному и региональному этапу Всероссийской олимпиады школьников по физике.

В этом году в рамках работы проекта сняты видеорешения (https://os.mipt.ru/#/phys/theme/9V1MmCFakz) теоретического тура регионального этапа Всероссийской олимпиады школьников по физике. Используйте эти материалы для самоподготовки к будущим олимпиадам.

Заголовок раздела

Возможные решения

Условие

В скрещенных электрическом и магнитном полях движется маленькая частица массой $m$ с положительным зарядом $q$ . Вектор однородного электрического поля с напряжённостью $E$ направлен вдоль оси $y$ . Вектор индукции магнитного поля направлен вдоль оси $z$ , перпендикулярной плоскости $xy$ (см. рис), а его величина зависит только от координаты $y$ по закону $B = \alpha\sqrt{\lvert y\rvert}$ . В начальный момент времени частица расположена в начале координат, а её скорость равна нулю. При дальнейшем движении частица впервые остановилась в момент времени $t = T$ после начала движения. Силы тяжести нет.

Оси $x$ и $y$ с началом 0, в начале координат частица $m, q$; стрелка $\vec E$ вверх вдоль оси $y$; знак $\odot\vec B$ — магнитное поле направлено на читателя.

Примечание: при малых значениях $\Delta x$ справедлива формула:

\Delta(x^n) = nx^{n-1}\Delta x.

1. Определите скорость частицы в момент, когда она направлена вдоль оси $x$ .

2. Определите радиус кривизны траектории частицы в точке с координатой $y$ .

3. Изобразите траекторию частицы за время движения $T$ .

4. На каком расстоянии от точки старта окажется частица через время $\tau = 3T/2$ ?

Отговори

Решение

Поскольку мощность силы Лоренца всегда равна нулю - кинетическая энергия частицы равна работе силы, действующей на неё со стороны электрического поля. Отсюда:

\frac{mv^2}{2} = qEy \Rightarrow v = \sqrt{\frac{2qEy}{m}}

Вдоль оси $x$ на частицу действует только сила Лоренца. Из второго закона Ньютона:

ma_x = qv_yB(y)

\Delta v_x(y) = \frac{qv_yB(y)\Delta t}{m} = \frac{\alpha q\sqrt{y}\Delta y}{m} = \frac{2\alpha q\Delta(y^{3/2})}{3m} \Rightarrow v_x(y) = \frac{2\alpha qy^{3/2}}{3m}

Из условия $v = v_x$ в момент, когда скорость частицы направлена вдоль оси $x$ , найдём соответствующую данному моменту координату частицы $y_1$ :

\sqrt{\frac{2qEy_1}{m}} = \frac{2\alpha qy_1^{3/2}}{3m} \Rightarrow y_1 = \frac{3m}{2\alpha q}\sqrt{\frac{2qE}{m}}

откуда:

v_1 = \sqrt{\frac{3E}{\alpha}\sqrt{\frac{2qE}{m}}}

Найдём радиус кривизны траектории в точке с координатой $y$ . Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось, перпендикулярную направлению скорости частицы:

\frac{mv^2}{R} = qvB + qE_n

где $E_n$ - перпендикулярная скорости компонента электрического поля. Для неё имеем:

E_n = -E\cdot\frac{v_x}{v} = -\frac{\alpha y}{3}\sqrt{\frac{2qE}{m}}

Подставляя во второй закон Ньютона, находим:

\frac{2qEy}{R} = \alpha qy\sqrt{\frac{2qE}{m}} - \frac{\alpha qy}{3}\sqrt{\frac{2qE}{m}} = \frac{2\alpha qy}{3}\sqrt{\frac{2qE}{m}}

откуда:

R = \frac{3}{\alpha}\sqrt{\frac{mE}{2q}} = const

Оси $x$ и $y$ с началом 0; траектория частицы — полуокружность радиуса $R$ над осью $x$, выходящая из начала координат и возвращающаяся на ось $x$; стрелка на дуге показывает направление движения, вертикальная стрелка из центра вверх подписана $R$.

При решении второго пункта было получено, что $R = const$ . Это означает, что частица двигалась по полуокружности до тех пор, пока не остановилась.

Обратим внимание, что после остановки движение частицы повторяется — она вновь будет двигаться по окружности того же радиуса, но уже из нового положения, находящегося от начального на расстоянии, равном диаметру окружности $2R$ . Также обратим внимание, что за половину периода частица проходит половину окружности, поскольку $v \sim \sqrt{\sin\varphi}$ , где $\varphi$ — угловой размер пройденной дуги.

Тогда через время $\tau = 3T/2$ координаты частицы равны $(x,y) = (3R,R)$ , и модуль её перемещения составляет:

S(\tau) = \sqrt{10}R

или же:

S(\tau) = \frac{3}{\alpha}\sqrt{\frac{5mE}{q}}

Оригинал в Архива: Ru23-R-T.pdf