ВсОШ 2023, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 8.4. Ползущий рельс

• 1. 600 kg
• 2. 0.25 m/s
• 3. 15 m

Для начала определимся с тем, как будут меняться во времени силы реакции опор (которые численно равны показаниям динамометров). Очевидно, что центр масс рельса на старте находится между опорами. Пусть $x$ — это расстояние от левой опоры до центра масс в начальный момент времени, $F_1$ и $F_2$ — показания левого и правого динамометров соответственно. Тогда через время $t$ получим:

Откуда:

Видно, что в обоих случаях зависимость линейная. В первом — убывающая, а во втором — возрастающая, причем коэффициенты при $t$ отличаются только знаком. Кроме того, в любой момент времени $F_1 + F_2 = Mg$.

Очевидно, что из трех точек какие-то 2 принадлежат одному графику, а оставшаяся — другому. Возможны три варианта. Однако точки 2 и 3, также как точки 1 и 3 не могут лежать на одной прямой. В этом случае второй график пересечет ось $X$ позже, чем начнется движение (а такого быть не может — рельс бы опрокинулся еще до старта).

Покажем это аналитически. Предположим, что точки 2 и 3 принадлежат одному графику $F_1(t)$. Тогда уравнение прямой $F_1(t) = -0.5\frac{\text{кН}}{\text{с}}t + 11{,}5$ кН. В момент времени $t_1 = 12$ с из графика находим $F_2(t_1) = 3{,}5$ кН, и, с учётом полученного уравнения прямой, $F_1(t_1) = 5{,}5$ кН. В момент времени $t_0 = 0$ с находим $F_1(t_0) = 11{,}5$ кН. А, так как сумма показаний динамометров не изменяется, $F_2(t_0) = -2{,}5\ \text{кН} < 0$. Значит, наше предположение неверно.

Предположим теперь, что точки 1 и 3 принадлежат одному графику $F_1(t)$. Тогда уравнение прямой $F_1(t) = -\frac{5}{18}\frac{\text{кН}}{\text{с}}t + \frac{41}{6}$кН. В момент времени $t_2 = 15$ с из графика находим $F_2(t_2) = 4$ кН, и, с учётом полученного уравнения прямой, $F_1(t_2) = \frac{8}{3}$ кН $\approx 2{,}67$ кН. В момент времени $t_0 = 0$ с находим $F_1(t_0)\frac{41}{6}$ кН $\approx$ 6,83 кН. А, так как сумма показаний динамометров не изменяется, $F_2(t_0) = -\frac{1}{6}$ кН $\approx -0{,}17\ \text{кН} < 0$. Следовательно, это предположение тоже неверно.

Значит, одному графику принадлежат точки 1 и 2. Тогда графики должны выглядеть так:

Сразу оговоримся, что поведение графиков нам точно известно только до 21-й секунды. Время движения рельса будет зависеть от его длины.

По графикам не сложно определить, что $Mg = 6$ кН. С учетом того, что $g = 10$ Н/кг, получаем $M = 600$ кг. Если мысленно продлить графики до пересечения с осью $X$, то можно заметить, что расстояние $l$ рельс проехал бы за 36 секунд. Значит его скорость — 0.25 м/с.

Что же касается минимальной длины рельса, то при её оценке мы можем отталкиваться только от известных нам крайних положений. В начальный момент времени расстояние от центра масс до дальней (правой) опоры — 6.75 м. А в последний доподлинно известный нам момент (точка 3) расстояние от центра масс до дальней (левой) опоры — 7.5 м. Откуда можно сделать вывод, что длина рельса не меньше $L_{\min} = 15$ м.