ВсОШ 2023, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 8.3. Туда-сюда

• 1. 70 °C
• 2. 3 kg
• 3. 6 min

С учётом того, что теплопотерями и теплоёмкостью кастрюли можно пренебречь, мощность плитки можно определить как $N = cm\Delta t/\Delta\tau$, где $c$ — удельная теплоёмкость воды, $m$ — масса воды (объёмом 5 литров, $m = \rho V = 5$ кг), $\Delta t$ — изменение температуры, $\Delta\tau$ — время, за которое это изменение произошло.

Так как в период с момента времени $\tau_1$ до момента времени $\tau_2$ масса воды в кастрюле равна $m$, температура изменилась с $t_1$ до $t_2$, то $N = \frac{cm(t_2 - t_1)}{\tau_2 - \tau_1} = 1.75$ кДж.

Если по ходу нагрева масса воды в кастрюле не меняется, то не меняется скорость нагрева $\Delta t/\Delta\tau = 5$ °C/мин. Значит конечная температура равна $t_{\text{к}} = t_0 + 10\tau_0\frac{\Delta t}{\Delta\tau} = 70$ °C ($\tau_0 = 1$ мин).

Пусть масса добавляемой воды в процессе эксперимента $\Delta m$. К моменту времени $8\tau_0$ нагреватель выделит количество теплоты $N8\tau_0$. Оно равно сумме количества теплоты $cm(t_{45} - t_0)$, полученного водой массой $m$ (оставшейся в сосуде после выливания) и количества теплоты $c\Delta m(t_x - t_0)$, полученного водой массой $\Delta m$. Т.е.

где $t_x$ — температура воды в момент её забора. Причём $t_x < t_1$.

С учётом этого и вышеприведенных уравнений получаем

Из данного соотношения видно, что $\Delta m$ принимает минимальное значение при максимально возможном значении $t_x = 45$ °C. Откуда $m_{\min} = 3$ кг.

Пусть $\tau$ — время, когда происходил забор воды из кастрюли. Исходя из того, что объём кастрюли 10 л, максимальная масса добавляемой воды может быть равна $m = 5$ кг.

Тепло, выделившееся на нагревателе к моменту времени $\tau$:

С учётом этого и соотношений для мощности плитки, выделяемой за время $8\tau_0$ получаем:

Откуда видно, что $\tau = \tau_{\min} = 6$ мин. при $\Delta m = \Delta m_{\max} = m$.

Также можно решать эту решать задачу графически в системе координат «время-температура». График процесса нагрева в этих координатах будет состоять из трех отрезков прямых: первый — до долива (масса воды в кастрюле $m = 5$ кг), второй — после долива (масса воды в кастрюле $m + \Delta m$) и третий — после забора воды (масса воды в кастрюле $m$).

Возьмем известные нам точки 1 и 2 и проведем через них прямую. На этой прямой лежит отрезок графика, соответствующий третьему участку. Учитывая, что масса воды на третьем и первом участке одинакова, прямые, на которых они лежат, должны быть параллельны, так как мощность нагрева постоянна. Проведем прямую, параллельную нашей и проходящую через начало координат (время — 0 мин, температура — 20 °C). Именно на этой прямой лежит график первого участка. По ней также можно определить температуру $t_{\text{к}}$, которую имела бы вода в кастрюле, если бы её масса не менялась со временем. Температура, соответствующая 10 минутам и есть искомая $t_{\text{к}} = 70$ °C.

По наклону этой прямой можно также определить мощность плитки $N = \frac{cm\Delta t}{\Delta\tau} = 1.75$ кВт.

Когда в кастрюлю доливают воду, масса в ней увеличивается, а температура уменьшается. Поскольку изменение температуры происходит мгновенно, график перескакивает на прямую, имеющую наклон, соответствующий новой массе, и проходящую через начало координат. Чем масса больше, тем более полого пойдет прямая. А её пересечение с прямой третьего участка даст момент забора воды.

Поскольку кастрюля десятилитровая, больше 5 литров долить в неё невозможно. Этому случаю соответствует нижняя (голубая) прямая. Именно она пересекается с прямой третьего участка раньше любой другой возможной (в точке 3, соответствующей $\tau_{\min} = 6$ минут).

В то же время, второй участок не может пересечься с третьим позже точки 1, которой соответствует минимальная добавочная масса $m_{\min} = 3$ кг.