Съдържание

ВсОШ 2024, Муниципален етап, 7–11 клас, учебна 2023/24 — Задача 23. Много Пи

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2024

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ ПО ФИЗИКЕ. МУНИЦИПАЛЬНЫЙ ЭТАП. 2023-2024 учебный год · 10 т.

Условие

Из проволоки массой $m$ , длиной $l$ и сопротивлением $R$ изготовили контур в виде половины окружности с диаметром. В начальный момент времени, контуру сообщили скорость $\upsilon_0$ , вектор которой перпендикулярен диаметру и лежит в плоскости контура (см. рис.). В процессе движения проволочная конструкция заехала в область однородного магнитного поля с индукцией $B_0$ , вектор которой перпендикулярен плоскости контура, а начальная скорость $\upsilon_0$ перпендикулярна границе магнитного поля. Через некоторое время контур остановился, заехав в поле на половину радиуса. Определите:

Два рисунка. Слева: контур-полуокружность массы m с диаметром вертикально на границе серой области магнитного поля (значки ⊗, вектор B), скорость v₀ направлена в поле перпендикулярно диаметру. Справа: контур остановился, заехав в поле диаметром на половину радиуса (показано стрелками-размерами).

a. начальную кинетическую энергию контура $W_0$ ;

b. ускорение контура $a_0$ в момент пересечения диаметром границы области с магнитным полем;

c. количество теплоты $Q$ , выделившееся в контуре к моменту остановки;

d. заряд $q$ , прошедший по контуру за время движения.

Действием гравитационных сил пренебречь.

Отговори

Решение

11.5.Много Пи. (Кутелев К.А)

Возможное решение

По определению начальная кинетическая энергия $W_0 = \frac{m\upsilon_0^2}{2}$
При попадании контура в магнитное поле, начинает меняться поток поля, что приводит к возникновению ЭДС индукции $\varepsilon = \frac{d\Phi}{dt}$ (знак пока не учитываем). В контуре возникает электрический ток, сила которого равна $I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{d\Phi}{Rdt}$ . Наличие тока приводит к возникновению силы Ампера, тормозящей движение контура.

В начальный момент времени в магнитном поле находится только диаметр контура. Его можно найти приравняв периметр контура к длине проволоки:

l = \frac{\pi D}{2} + D \Rightarrow D = \frac{l}{\frac{\pi}{2} + 1}

Скорость изменения потока в начальный момент времени:

\frac{d\Phi}{dt} = B\frac{dS}{dt} = B\upsilon_0D

Сила Ампера: $F_A = IBD = \frac{d\Phi}{Rdt}BD = \frac{B^2\upsilon_0}{R}D^2 \Rightarrow a_0 = \frac{B^2\upsilon_0}{mR}\left(\frac{l}{\frac{\pi}{2} + 1}\right)^2$

К моменту вся механическая энергия перейдёт в тепловую $Q = W_0 = \frac{m\upsilon_0^2}{2}$
Прошедший через контур заряд пропорционален изменению потока:

I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{d\Phi}{Rdt}

I = \frac{dq}{dt} = \frac{d\Phi}{Rdt} \Rightarrow \Delta q = \frac{\Delta\Phi}{R} = \frac{B}{R}\Delta S

Изменение площади - это площадь той части контура, которая оказалась в поле. Её можно найти как сумму площадей двух секторов по 30 градусов и двух прямоугольных треугольников:

\Delta S = 2 \cdot \frac{1}{12}\frac{\pi D^2}{4} + 2 \cdot \frac{1}{2}\frac{D}{4}\frac{\sqrt{3}D}{4} = D^2\left(\frac{\pi}{24} + \frac{\sqrt{3}}{16}\right) = l^2\left(\frac{2\pi + 3\sqrt{3}}{48}\right)\frac{1}{\left(\frac{\pi}{2} + 1\right)^2}

\Delta S = l^2\left(\frac{2\pi + 3\sqrt{3}}{48}\right)\frac{1}{\left(\frac{\pi}{2} + 1\right)^2} \approx 0.036l^2

И заряд $\Delta q = l^2\left(\frac{2\pi + 3\sqrt{3}}{48}\right)\frac{1}{\left(\frac{\pi}{2} + 1\right)^2}\frac{B}{R} \approx 0.036\frac{B}{R}l^2$

Критерии оценивания

№	Критерий	Балл
1	Дан правильный ответ на 1й вопрос	0,5
2	Использовано определение ЭДС индукции	1
3	Использован закон Ома	1
4	Использовано определение силы Ампера	1
5	Геометрический размер контура связан с длиной проволоки	1
6	Найдена ЭДС индукции в начальный момент	1
7	Найдено начальное ускорение	1
8	Дан правильный ответ на 3й вопрос	1
9	Установлена связь заряда с изменением потока магнитного поля	1
10	Найдено изменение площади	1
11	Дан правильный ответ на 4й вопрос	0,5

	max	10,0

Примечание для жюри

Полностью правильное решение, полученное неавторским методом, оценивается полным баллом. Недопустимо снижать оценку за «неправильное» оформление или неаккуратные записи. Вместо ЭДС индукции возможно использование холловского напряжения.

Оригинал в Архива: VsOSh_2024_MUN_T.pdf