ВсОШ 2024, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 1. 9-E1 · Весы Роберваля

Возможные решения

Задача №9-E1. Весы Роберваля

Фото установленных и сбалансированных весов представлено на рисунке 1. Геометрические размеры установки: $a=184$ мм, $b=300$ мм.

Рис. 1

Для определения момента силы трения $M$ в шарнире будем добавлять малые грузы (дополнительные шайбы) в любом месте полки весов, пока не начнётся движение полки вниз. Это произойдет при общей массе малых грузов $\Delta m$. Рассчитаем момент силы трения в шарнире, используя метод виртуальных перемещений. Он основан на том факте, что при выводе механической системы из положения равновесия на бесконечно малое расстояние суммарная работа внешних сил равна нулю.

Рис. 2

При опускании правого конца рычага длиной $a/2$ на расстояние $\Delta h$, жёстко связанный с ним цилиндр шарнира радиусом $R$ поворачивается на угол $\varphi$ и, соответственно, проскальзывает с силой трения $F_{\text{тр}}$ по неподвижному основанию на длину дуги $\Delta L$ (см. рисунок 2). В нашем случае:

В силу конструктивного несовершенства исследуемой установки масса дополнительного груза $\Delta m$, выводящего весы из положения равновесия, может зависеть от того, с какой стороны расположен этот груз. Целесообразно проверить, насколько совпадают или отличаются значения $\Delta m$ при размещении их на левой или правой полках весов. На контрольной установке были получены следующие результаты при расположении дополнительных грузов справа: $\Delta m_{\text{п}}=4$ г и $M_{1\text{п}}=\Delta m_{\text{п}}g\frac a2=3{,}7\cdot10^{-3}$ Н·м. При расположении грузов слева: $\Delta m_{\text{л}}=3$ г и $M_{1\text{л}}=\Delta m_{\text{л}}g\frac a2=2{,}8\cdot10^{-3}$ Н·м. Усредним полученные результаты. Момент силы трения в верхнем шарнире наших весов без нагрузки равен:

Закрепим большие грузы максимально близко к вертикальным рейкам. Убедимся в устойчивости горизонтального положения верхней и нижней реек весов.

Определим массу дополнительного груза $\Delta m$, выводящего систему из состояния покоя в нагруженном состоянии. На контрольной установке были получены следующие результаты при расположении дополнительных грузов справа: $\Delta m_{\text{п}}=17$ г и $M_{2\text{п}}=\Delta m_{\text{п}}g\frac a2\approx16\cdot10^{-3}$ Н·м.

При расположении грузов слева: $\Delta m_{\text{л}}=15$ г и $M_{2\text{л}}=\Delta m_{\text{л}}g\frac a2\approx14\cdot10^{-3}$ Н·м.

Усредним полученные результаты и получим, что момент силы трения в верхнем шарнире наших весов под нагрузкой равен:

Рис. 3

Горизонтальную силу $F$, действующую со стороны основания на нижний центральный шарнир, измеряем динамометром, зацепляя его за проволочную петлю, расположенную в нижней части правой рейки весов (см. рисунок 3).

Показания динамометра снимаем в тот момент, когда шарнир не касается боковых стенок большого отверстия в основании весов, а динамометр расположен горизонтально. В этот момент горизонтальная сила, создаваемая пружиной динамометра, заменяет горизонтальную силу реакции опоры со стороны боковой стенки отверстия. Измерения нужно проводить, тщательно подбирая положение динамометра в горизонтальной плоскости, обеспечивающее отсутствие перекосов нижнего основания весов, когда центральный шарнир свободно перемещается в отверстии.

Для удобства измерения величины $x$ прочертим линию, соединяющую шарниры правой вертикальной рейки параллелограмма. Расстояние от этой линии до ближайшего отверстия на горизонтальной полке равно 52 мм. Так как остальные отверстия расположены с интервалом 20 мм, то все возможные для измерений расстояния $x_i$ определяются соотношением $x_i=(52+20i)$ мм. Занесём эти значения в таблицу.

Последовательно перевешивая правый груз в отверстиях правой полки, снимаем зависимость $F(x)$. Результаты измерений представлены в таблице.

График полученной зависимости представлен на рисунке 4. На графике отложена погрешность измерений по оси $F$, которая принимается равной цене деления динамометра 0,1 Н.

Рис. 4

Для нахождения массы грузов используем условие равновесия относительно верхнего шарнира. Правило моментов в этом случае имеет вид:

где $x_0$ – расстояние от точки подвеса левого груза до оси левой рейки параллелограмма, $M_{\text{трп}}$ – суммарный момент, создаваемый силами трения покоя. Сила тяжести, действующая на рамку весов, не создаёт вращательного момента, так как приложена в центре параллелограмма и направлена вертикально вниз, её плечо относительно верхнего шарнира равно нулю. После преобразований получаем:

$F(x)$ является линейной зависимостью, угловой коэффициент которой $k=m_0g/b$ даёт возможность определить массу груза. Второе слагаемое $C$ в (2) является константой.

Проведём на графике прямые с максимально и минимально возможными наклонами (см. рисунок 4). Угловые коэффициенты этих прямых $k_{\max}=20{,}0$ Н/м и $k_{\min}=17{,}7$ Н/м, из которых получаем $m_{0\max}=610$ г и $m_{0\min}=540$ г. Среднее значение массы груза $m_0=575$ г, погрешность ±40 г.

Окончательно для массы груза $m_0=(580\pm40)$ г. Погрешность составляет 6%. Эталонное значение массы груза $m_0=560$ г.

Сила, действующая на рамку со стороны верхнего шарнира, представляет собой векторную сумму вертикальной силы $F_{\text{в}}=2m_0g+Mg$, где $M$ – полная масса рамки весов, и горизонтальной силы $F_{\text{г}}$, которая равна по величине и противоположно направлена силе $F$, действующей со стороны основания на нижний шарнир. Модули последних двух сил равны друг другу, так как они являются единственными горизонтальными силами, действующими на рамку, а вращательный момент относительно центра тяжести рамки отсутствует. Таким образом,

Рис. 5

Для вычисления $Q$ необходимо знать $M$. Положим основание весов на угол стола так, чтобы рамка не касалась стола (см. рисунок 5).

Потянем динамометром рамку вверх за проволочную петлю и зафиксируем его показание $F_1$ в том положении, где центральный шарнир не касается стенок большого отверстия в основании. В этом положении рамка находится в равновесии под действием двух сил, правило моментов для которых имеет вид: $F_1b=Mg\frac b2$.

Так как в нашем случае измерения дают результат $F_1=1{,}4$ Н, находим $M=290$ г, а $F_{\text{в}}=2m_0g+Mg=14{,}1$ Н. Подставляя это значение в (3) и используя данные таблицы пункта 5, вычисляем зависимость $Q(x)$ и заносим результаты в ту же таблицу измерений.

График зависимости $Q(x)$ представлен на рисунке 6. График похож на параболу. Убедимся, что так и должно быть. В нашем случае можно считать, что $F\ll F_{\text{в}}$. Тогда

а в искомое выражение входит квадрат линейной зависимости $F(x)$. Что и требовалось доказать. Здесь мы воспользовались тем, что $\sqrt{1+\alpha}\approx1+\frac\alpha2$ при $\alpha\ll1$.

Рис. 6