ВсОШ 2024, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 2. 9-E2 · Путь в бесконечность

Всероссийская олимпиада школьников по физике · Заключительный этап · Экспериментальный тур · 15 т.

Условие

9 класс

Задача №2. Путь в бесконечность

Максимальный балл за задание — 15 баллов.

Впервые вычислить эквивалентное сопротивление электрической цепи (см. рисунок), состоящей из очень большого числа звеньев, было предложено участникам I Международной олимпиады по физике в 1967 году. С тех пор эта задача стала классической. Сегодня же вам предстоит экспериментально исследовать, как зависит сопротивление данной цепи от числа звеньев в ней.

1. Определите сопротивления всех резисторов и проверьте, что все резисторы $r$ и все резисторы $R$ ($r\ll R$) имеют одинаковые сопротивления в пределах точности измерений мультиметра. Считайте погрешность мультиметра в этом и последующих пунктах равной трём единицам последнего разряда. Если есть резисторы $R$, сопротивление которых отличается больше, чем на 1%, попросите их заменить. Вычислите средние значения $R$ и $r$ и их погрешности.

2. Снимите зависимость эквивалентного сопротивления цепи (см. рисунок) $\Omega(n)$ от числа звеньев $n$ для $n=1,2,\ldots,7$. Для $n=7$ начертите Вашу схему подключения резисторов, проводов и мультиметра на макетной плате. Для этого Вам выдан бланк с напечатанной схемой макетной платы. Резисторы сопротивлением $R$ обозначайте на схеме в виде закрашенных прямоугольников, а резисторы сопротивлением $r$ – в виде незакрашенных. Если схему для $n=7$ собрать не удалось, то начертите схему подключения для цепи с максимальным числом звеньев.

Без начерченной схемы Ваши экспериментальные данные и расчеты не будут оцениваться.

3. Используя средние значения $r$ и $R$ из первого пункта, рассчитайте теоретическое значение $\Omega(\infty)$ сопротивления цепи, состоящей из очень большого ($n\gg1$) числа звеньев.

4. Нанесите точки снятой зависимости $\Omega(n)$ на график. Соедините эти точки гладкой линией. На этом же графике постройте горизонтальную прямую $\Omega=\Omega(\infty)$. Это тот предел (горизонтальная асимптота), к которой должны стремиться точки измеренной зависимости $\Omega(n)$.

5. В приближении $n^2r\ll R$ (считайте, что данное приближение верно для всех $n\leq7$) зависимость эквивалентного сопротивления от количества звеньев принимает вид $\Omega(n)=F(R,n)+f(r,n)$, где $f(r,n)$ - небольшая добавка, равная $f(r,n)=\frac{(2n+1)(n+1)}{6n}r$, а $F(R,n)$ – основной член, зависящий только от $R$ и $n$.

Чему равна функция $F(R,n)$?

6. С учётом теоретической зависимости, полученной в предыдущем пункте, подберите такие координаты, в которых измеренная Вами зависимость $\Omega(n)$ будет линейной. Постройте график линеаризованной зависимости.

7. Из графика, построенного в предыдущем пункте, определите сопротивления $r$ и $R$ и их погрешности. Сравните полученные значения $R$ и $r$ с результатами прямых измерений в пункте 1.

Примечание: макетная плата используется для соединения проводов и подключения различных элементов. Каждые пять соседних гнёзд макетной платы, расположенные в одном столбце, внутри платы соединены между собой. Например, соединены выводы, отмеченные серым на рисунке. Все гнёзда макетной платы, расположенные в двух крайних строках платы с каждой её стороны, промаркированные красным и синим цветами, также соединены между собой.

Оборудование: макетная плата, 7 пар резисторов $r$ и $R$ ($R\gg r$) в зип-пакете, мультиметр с проводами типа «банан–крокодил», пара соединительных проводов для макетной платы.

Решение

Покажи официалното решение

Оригинал в Архива: Ru24E.pdf