ВсОШ 2024, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 3. 10-E1 · Тепловое сопротивление

Задача №10-E1. Тепловое сопротивление

Результаты приведены для эксперимента с авторской установкой, которая отличалась массой пустой бутылки и маркой проволоки.

Подвесим пустую бутылку к измерительному стенду с помощью куска проволоки большей длины и выставим стрелку в некоторое положение (см. рисунок). Обратим внимание, что изначально куски проволоки скручены в витки, и вследствие этого могут проявлять нелинейность растяжения по нагрузке. Проверим, что колесико свободно вращается, не касаясь транспортира и головки винта. Начнём наливать в бутылку воду с помощью шприца порциями по 20 мл, измеряя при этом угол $\varphi$ отклонения стрелки.

В представленной таблице расчёт растягивающей силы $F$ и относительного удлинения $\varepsilon$ произведён по формулам

где $\varphi_0$ – начальный угол отклонения стрелки. Построенный график $\varepsilon$ от $F$ имеет линейный вид в пределах погрешности.

Погрешность определения силы составляет $\Delta F=(0{,}5\text{ мл}/20\text{ мл})\cdot F$, погрешность определения относительного удлинения составляет $\Delta\varepsilon=(\pi/180^\circ)\cdot1^\circ\cdot r/L=6\cdot10^{-5}$.

Зависимость $\varepsilon$ от $F$

Наблюдаемый сдвиг по оси $F$ может быть обусловлен наличием силы трения между колесиком и осью. Угловой коэффициент сглаживающей прямой $k_1=1/ES=(0{,}50\pm0{,}03)\cdot10^{-3}$ Н⁻¹, где $S=\pi d^2/4$, тогда модуль Юнга $E=1/k_1S=(113\pm7)$ ГПа. В работе используется неизолированная медная проволока. Табличное значение модуля Юнга для меди $E_{\mathrm{Cu}}=118$ ГПа.

Подвесим к свободному концу куска длинной проволоки пустую бутылку и затем нальём небольшое количество воды (≈100 мл). Это надо для того, чтобы преодолеть зону застоя, связанную с наличием трения в оси колёсика. Соберем электрическую цепь, схема которой изображена на рисунке.

Подключим кусок проволоки, амперметр и источник последовательно. Параллельно с куском проволоки подключим мультиметр в режиме вольтметра.

Возможные хорошие варианты:

• «Крокодилы» проводов подключаем к проводу вблизи болта и проводу около колесика на вертикальном участке проволоки.
• «Крокодилы» проводов подключаем к небольшим свободным концам проволоки в местах крепления к бутылке и болту. Значения напряжений при этом пересчитываем.

Первое измерение проведем при температуре проволоки близкой к комнатной (при малых значениях сил токов). При этом используем мультиметр в режиме «200 mА».

Посмотрим, как меняется длина медной проволоки при пропускании через неё «амперных токов». Для этого переведём амперметр в режим «10 А». Далее, увеличивая напряжение на источнике, измеряем угол поворота стрелки $\varphi$, силу тока $I$ на амперметре и напряжение $U$ на вольтметре в режиме «нагревания» (увеличения силы тока) и «остывания» (уменьшения силы тока).

Последнее измерение проводим опять при температуре проволоки близкой к комнатной. При этом используем мультиметр в режиме «200 mА».

Исследуемая температурная зависимость сопротивления определяется формулой $R=R_0(1+\alpha\Delta t)$, поэтому $\Delta R/R_0=(R-R_0)/R_0=\alpha\Delta t$, где $R_0$ – начальное сопротивление. Такой же вид и у зависимости относительного удлинения проволоки от температуры: $\varepsilon=\Delta l/l=\beta\Delta t$. А значит график зависимости $\varepsilon$ от $\Delta R/R_0$ будет линейным.

Сопротивление $R$ будем рассчитывать по формуле $R=U/I$, а относительное удлинение $\varepsilon$ − по формуле $\varepsilon=(\pi/180^\circ)\cdot(\varphi-\varphi_0)r/L$.

Погрешность относительного удлинения находим по формуле $\Delta\varepsilon=(\pi/180^\circ)\cdot1^\circ\cdot r/L=6\cdot10^{-5}$, погрешность $\Delta R_0=(\Delta I_0/I_0+\Delta U_0/U_0)R_0=0{,}007$ Ом. Погрешность для $\Delta R$ находим аналогично, в результате чего погрешность значения $R-R_0$ оказывается порядка 0,04 Ом. Основной вклад в погрешность данной величины дает погрешность амперметра в режиме «10 А».

Зависимость $\varepsilon$ от $\Delta R/R_0$

На графике приведены линейные участки снятых зависимостей. Отчётливо виден гистерезис, связанный с изменением направления силы трения в колесике при смене режима «нагревания» на режим «остывания». При этом угловые коэффициенты $k_{\text{наг}}=(4{,}3\pm0{,}4)\cdot10^{-3}$, $k_{\text{ост}}=(4{,}4\pm0{,}4)\cdot10^{-3}$ совпадают в пределах погрешности. В рамках используемой модели угловой коэффициент графика должен быть равен $\beta/\alpha$. Для его нахождения усредним $k_{\text{наг}}$ и $k_{\text{ост}}$:

Чем больше масса подвешенного груза, тем сильнее проявляется гистерезис, и при правильном выборе объема воды налитого в бутылку ($V>60$ мл) он всегда проявляется. При этом $\frac{k_{\text{наг}}+k_{\text{ост}}}2$ остается постоянным.

Возможно выбрать другие координаты, линеаризующие снятую зависимость. Считая мощность теплопотерь $W_{\text{пот}}$ пропорциональной разности температур $\Delta t$ между проволокой и внешней средой: $W_{\text{пот}}=k_{\text{пот}}\Delta t$, можем записать уравнение теплового баланса $IU=W_{\text{пот}}=k_{\text{пот}}\Delta t$. Таким образом, зависимость относительного удлинения $\varepsilon$ от $IU$ должна быть линейной.

Зависимость $\varepsilon$ от $IU$

На этом графике также отчётливо виден гистерезис, связанный с изменением направления силы трения в колесике при смене режима «нагревания» на режим «остывания». Угловые коэффициенты тоже совпадают в пределах погрешности.

Для определения коэффициента $\beta$ нужно использовать соотношение $\beta/\alpha$, найденное описанным выше методом. Независимо найдем температурный коэффициент сопротивления $\alpha$.

Исследуем, как зависит сопротивление медной проволоки от температуры. Для этого поместим короткий кусок проволоки в горячую воду, температуру которой измерим термометром. Подадим на проволоку небольшое напряжение от источника порядка 200 мВ. Далее снимем значения силы тока в цепи и напряжения на концах куска проволоки от температуры воды.

Для определения сопротивления через проволоку пропустим «небольшой» ток (в диапазоне до 200 мА). Силу тока измерим «миллиамперметром», а напряжение на концах проволоки – «милливольтметром». Обратим внимание, что сопротивление проволоки при длине $l=1$ м составляет порядка 1 Ом, в связи с чем амперметр нельзя считать идеальным.

Выданная проволока неизолированная, так что при помещении её в воду важно, чтобы не было касания (т.е. электрического контакта) друг с другом витков проволоки. Если допустить контакты между витками проволоки, то они могут смещаться при наливании воды, меняя сопротивление проволоки.

Этого можно добиться, например, сделав в маленьком стаканчике отверстия канцелярской кнопкой и пропустив через них проволоку. Обратим внимание, что сопротивление проволоки не меняется при помещении её в воду комнатной температуры.

Схематичный вид стакана с проволокой

Полученную систему опустим в большой стакан с горячей водой. Не меняя значение напряжения на источнике, снимем значения силы тока $I$ и напряжения $U$ на концах куска проволоки при разных температурах воды $t$. Для расчёта $R_0$ используем данные, полученные при практически комнатной температуре.

Как уже говорилось ранее, температурная зависимость сопротивления определяется формулой $R=R_0(1+\alpha\Delta t)$, поэтому в координатах $\Delta R/R_0$ от $t$ график должен быть линейным.

Погрешность $t$ составляет 0,3°C, погрешность $\Delta R/R_0$ определяется аналогично прошлому пункту. Отметим, что основной вклад в погрешность вносит погрешность термометра.

Пока производим расчёты, вода успевает остыть. Это даёт возможность снять две дополнительных точки при более низких температурах.

С помощью графика, который получился линейным, определяем угловой коэффициент $k_4=(3{,}60\pm0{,}06)\cdot10^{-3}$ °C⁻¹. Этот угловой коэффициент совпадает с температурным коэффициентом сопротивления $\alpha=k_4=(3{,}60\pm0{,}06)\cdot10^{-3}$ °C⁻¹. Табличное значение температурного коэффициента сопротивления для меди: $\alpha_{\mathrm{Cu}}=3{,}93\cdot10^{-3}$ °C⁻¹.

С учётом значения $\beta/\alpha=(4{,}4\pm0{,}4)\cdot10^{-3}$, найденного в предыдущем пункте, вычисляем $\beta=(1{,}7\pm0{,}2)\cdot10^{-5}$ °C⁻¹. Табличное значение температурного коэффициента расширения для меди $\beta_{\mathrm{Cu}}=1{,}7\cdot10^{-5}$ °C⁻¹.

Примечание: Температурная зависимость сопротивления определяется не только зависимостью ее удельного сопротивления $\Delta\rho/\rho=\gamma\Delta t$ от температуры но и изменением ее геометрических размеров: $\Delta l/l=\beta\Delta t$, $\Delta S/S=\Delta(r^2)/r^2=2r\Delta r/r^2=2\beta\Delta t$, так как они все вместе входят в конечную формулу $R=\rho l/S$.

График $\Delta R/R_0$ от $T$

Итого:

но в нашем случае $\beta\ll\gamma$, поэтому $\alpha\simeq\gamma$. Учет этих факторов никаким образом не влияет на представленное решение задачи.