Съдържание

Условие Отговори Решение

ВсОШ 2024, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 11.1. Две окружности

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2024

LVII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур

Комплект задач подготовлен

Комплект задач подготовлен центральной предметно-методической комиссией Всероссийской олимпиады школьников по физике

E-mail: physolymp@gmail.com

Авторы задач

9 класс

9-T1. Ольга Инишева, Андрей Уймин
9-T2. Андрей Жигар
9-T3. Денис Рубцов
9-T4. Антон Вергунов, Андрей Уймин
9-T5. Константин Парфёнов

10 класс

10-T1. Андрей Уймин
10-T2. Антон Вергунов, Андрей Уймин
10-T3. Александр Аполонский, Андрей Уймин
10-T4. Андрей Уймин
10-T5. Александр Аполонский

11 класс

11-T1. Александр Аполонский, Константин Парфёнов
11-T2. Александр Аполонский, Андрей Уймин
11-T3. Григорий Расторгуев
11-T4. Андрей Уймин
11-T5. Андрей Уймин

Условие

В толстой плите из непроводящего твёрдого материала перпендикулярно поверхности просверлено отверстие маленького диаметра, глубина которого меньше толщины плиты. К «дну» отверстия прикреплён один конец резинки с коэффициентом жёсткости $k$ . Длина недеформированной резинки в точности равна глубине отверстия. На другом конце резинки прикреплена бусинка массы $m$ , заряженная положительным зарядом $q$ . Плита расположена горизонтально в поле тяжести. Поверхность плиты гладкая. Перпендикулярно поверхности плиты включено однородное магнитное поле, вектор индукции которого направлен противоположно вектору ускорения свободного падения. Величина индукции магнитного поля равна $B$ . Растягивая резинку, бусинку смещают по поверхности плиты на расстояние $r_0$ от оси отверстия и отпускают, сообщив ей такую перпендикулярную резинке скорость, что бусинка движется по окружности.

Разрез плиты (серый) с узким вертикальным отверстием; резинка выходит из отверстия и идёт по поверхности плиты к бусинке q, m на расстоянии r0 от оси отверстия; вектор B направлен вверх, вектор g — вниз.

1. Определите угловые скорости движения бусинки при вращении её по часовой стрелке и против часовой стрелки (если смотреть за её движением сверху).

Сила, действующая на бусинку, зависит и от ее координаты $\vec{r}$ , и от ее скорости $\vec{v}$ линейным образом. Поэтому, если есть два разных закона движения $\vec{r}_1(t)$ и $\vec{r}_2(t)$ , описывающие некоторые движения бусинки, то уравнение $\vec{r}(t) = \alpha \cdot \vec{r}_1(t) + \beta \cdot \vec{r}_2(t)$ при любых постоянных $\alpha$ и $\beta$ правильно описывает закон физически реализуемого движения этой бусинки под действием таких же сил (ведь скорость и ускорение бусинки в любой момент времени будут описываться такими же комбинациями). Например, если бусинку из того же начального положения, что и в пункте 1, отпускают без начальной скорости, то закон ее движения можно найти как результат наложения («суперпозиции») законов вращений, изученных Вами в этом пункте.

2. На какое минимальное расстояние к оси отверстия приблизится бусинка после отпускания без начальной скорости с расстояния $r_0$ от отверстия?

3. Через какое время $\tau$ после отпускания бусинка вновь окажется на расстоянии $r_0$ от оси отверстия?

4. Изобразите траекторию бусинки для случая $q^2B^2/(mk) = 1/2$ . Через какое время после отпускания бусинка в первый раз окажется в исходной точке?

Отговори

Решение

Уравнение движения бусинки на резинке в магнитном поле $\vec{B}$ имеет вид

m\vec{a} = -k\vec{r} + q\left[\vec{v} \times \vec{B}\right],

то есть (как и отмечено в условии) оно является линейным и однородным уравнением по отношению к закону движения $\vec{r}(t)$ (сам вектор координаты, откладываемый от положения равновесия бусинки и его производные – скорость и ускорение – входят в уравнение только в первой степени). При движении по окружности радиуса $r_0$ центростремительное ускорение бусинки создается силой упругости резинки и силой Лоренца, причем в зависимости от направления вращения сила Лоренца либо направлена к центру окружности, либо от него. Значит, величина угловой скорости бусинки при таком движении находится из уравнения

m\omega^2r_0 = kr_0 \pm qB\omega r_0 \implies \omega^2 \pm \frac{qB}{m}\omega - \frac{k}{m} = 0.

Далее введем обозначения $\Omega \equiv \dfrac{qB}{2m}$ и $\omega_0^2 \equiv \dfrac{k}{m}$ . Тогда, выбирая для каждого случая положительный корень, приходим к выводу, что при вращении по часовой стрелке величина угловой скорости (циклическая частота вращения)

\omega_1 = \sqrt{\omega_0^2 + \Omega^2} + \Omega = \sqrt{\frac{k}{m} + \frac{q^2B^2}{4m^2}} + \frac{qB}{2m},

а при вращении против часовой стрелки она равна

\omega_2 = \sqrt{\omega_0^2 + \Omega^2} - \Omega = \sqrt{\frac{k}{m} + \frac{q^2B^2}{4m^2}} - \frac{qB}{2m} < \omega_1,

Примечание: в обоих случаях угловая скорость не зависит от радиуса окружности! Поэтому величина линейной скорости пропорциональна радиусу описываемой окружности.

Координатные оси с тремя концентрическими штриховыми окружностями (чёрная радиуса r0, красная и синяя меньше); синий вектор α r⃗1(t), повёрнутый на угол ω1t по часовой стрелке (вниз), красный вектор β r⃗2(t), повёрнутый на угол ω2t против часовой стрелки; чёрный вектор r⃗(t) — их сумма, достроенная штриховыми линиями.

Пусть теперь $\vec{r}_1(t)$ – закон движения бусинки, вращающийся по окружности радиуса $r_0$ по часовой стрелке, а $\vec{r}_2(t)$ – закон движения бусинки, вращающийся по той окружности против часовой стрелки. Модули скоростей движения у бусинки при этих движениях различаются: легко найти, что $|\vec{v}_1| = \omega_1r_0$ , а $|\vec{v}_2| = \omega_2r_0$ . Если записать суперпозицию этих законов движения в виде

\vec{r}\,(t) = \frac{\omega_2}{\omega_1 + \omega_2}\vec{r}_1\,(t) + \frac{\omega_1}{\omega_1 + \omega_2}\vec{r}_2\,(t)\,,

то, в соответствии с линейностью и однородностью уравнения движения (и в соответствии с содержащейся в условии «подсказкой») этот закон тоже удовлетворяют уравнению движения. Легко определить начальные условия, которым он соответствует: поскольку $\vec{r}_1(0) = \vec{r}_2(0) \equiv \vec{r}_0$ и при различных направлениях вращения $|\vec{v}_1(0)| = \omega_1r_0 = \dfrac{\omega_1}{\omega_2}|\vec{v}_2(0)|$ , то $\vec{r}(0) = \vec{r}_0$ и $\vec{v}(0) = 0$ . Следовательно, полученный закон описывает движение бусинки, запущенной без начальной скорости с расстояния $r_0$ от отверстия! Мы обнаружили, что вектор координаты такой бусинки можно в любой момент времени найти как сумму вектора $\dfrac{\omega_2}{\omega_1 + \omega_2}\vec{r}_1\,(t)$ с постоянной длиной $\dfrac{\omega_2}{\omega_1 + \omega_2}r_0$ , вращающегося с угловой скоростью $\omega_1$ по часовой стрелке, и вектора $\dfrac{\omega_1}{\omega_1 + \omega_2}\vec{r}_2\,(t)$ с постоянной длиной $\dfrac{\omega_1}{\omega_1 + \omega_2}r_0$ , вращающегося с угловой скоростью $\omega_2$ против часовой стрелки от того же начального положения (см. рисунок). Отметим, что угол между этими векторами в момент времени $t$ равен $\varphi(t) = (\omega_1 + \omega_2)t$ . Поэтому, по теореме косинусов, в этот момент времени расстояние от бусинки до отверстия удовлетворяет уравнению

r^2(t) = \left(\frac{\omega_2}{\omega_1 + \omega_2}r_0\right)^2 + \left(\frac{\omega_1}{\omega_1 + \omega_2}r_0\right)^2 + 2 \cdot \frac{\omega_2}{\omega_1 + \omega_2}r_0 \cdot \frac{\omega_1}{\omega_1 + \omega_2}r_0 \cdot \cos\left[(\omega_1 + \omega_2)t\right].

Значит,

r(t) = \frac{r_0}{\omega_1 + \omega_2}\sqrt{\omega_1^2 + \omega_2^2 + 2\omega_1\omega_2 \cdot \cos\left[(\omega_1 + \omega_2)t\right]}.

Таким образом, циклическая частота изменения расстояния от бусинки по положения равновесия равна $\omega_1 + \omega_2 = 2\sqrt{\omega_0^2 + \Omega^2}$ , причем минимальное значение

r_{\min} = \frac{\omega_1 - \omega_2}{\omega_1 + \omega_2}r_0 = \frac{\Omega}{\sqrt{\omega_0^2 + \Omega^2}}r_0

расстояние принимает в моменты времени $t_n = \dfrac{\pi}{\sqrt{\omega^2 + \Omega^2}}\left(n + \dfrac{1}{2}\right)$ (где $n = 0,1,2, \ldots$ ). Отметим, что для нахождения $r_{\min}$ не обязательно исследовать закон изменения расстояния $r(t)$ : достаточно понять, что расстояние от бусинки до отверстия минимально, когда вектора «составляющих» векторов нашей суперпозиции направлены противоположно. Тогда ясно, что $r_{\min}$ равно разности их модулей.

Из формулы для $r(t)$ видно, что максимальное расстояние от бусинки до отверстия равно начальному $r_{\max} = r_0$ , и оно достигается в моменты времени $t'_n = \dfrac{\pi}{\sqrt{\omega_0^2 + \Omega^2}}n$ (где $n = 0,1,2, \ldots$ ). Как видно, впервые после отпускания это произойдет в момент времени

\tau = \frac{\pi}{\sqrt{\omega_0^2 + \Omega^2}}

Как и в предыдущем пункте, можно получить этот ответ без нахождения $r(t)$ – достаточно образного представления движения. Тогда ясно, что расстояние максимально, когда вращающиеся навстречу друг другу вектора «составляющих» векторов суперпозиции встречаются, и $\tau = \dfrac{2\pi}{\omega_1 + \omega_2} = \dfrac{\pi}{\sqrt{\omega_0^2 + \Omega^2}}$ .

При таком соотношении параметров $\Omega^2 = \omega_0^2/8$ , и поэтому $\omega_1 = \omega \cdot \sqrt{2}$ , а $\omega_2 = \omega_0/\sqrt{2}$ . Значит, отношение угловых скоростей $\omega_1 : \omega_2 = 2 : 1$ , то есть общее движение периодическое, и траектория оказывается замкнутой. В этом случае

\vec{r}_1(t) = \frac{1}{3}\vec{r}_1(t) + \frac{2}{3}\vec{r}_2(t),

длины векторов, сумма которых дает $\vec{r}(t)$ , равны $r_0/3$ и $2r_0/3$ , а закон изменения расстояния

r(t) = \frac{r_0}{3}\sqrt{5 + 4 \cdot \cos\left[3\omega_2t\right]}.

Ясно, что период движения – наименьшее общее кратное периодов двух составляющих движений, которое в нашем случае равно периоду меньшей частоты $\omega_2$ .

Траектория бусинки на координатной сетке: замкнутая кривая с тремя остриями на красной окружности радиуса r0 (одно на положительной оси x), касающаяся синей окружности радиуса r0/3; точки траектории отмечены.

Поэтому впервые после отпускания бусинка окажется в исходной точке спустя время

T = \frac{2\pi}{\omega_2} = \frac{2\pi\sqrt{2}}{\omega_0} = 2\pi\sqrt{\frac{2m}{k}}

Период изменения расстояния от отверстия

T = \frac{2\pi}{\omega_1 + \omega_2} = \frac{2\pi\sqrt{2}}{3\omega_0} = \frac{1}{3}T_2.

Поэтому за один период движения бусинка трижды достигает максимального расстояния $r_0$ , и трижды – минимального $r_0/3$ . Таким образом, траектория за «полный оборот» вокруг оси отверстия трижды проходит от окружности с радиусом $r_0$ до окружности с радиусом $r_0/3$ и обратно, причем вблизи общих точек с большей окружностью бусинка движется по радиусу (траектория касается радиуса), в общих точках с меньшей окружностью радиальная скорость бусинки обращается в ноль при ненулевой угловой скорости – бусинка движется перпендикулярно радиусу, и ее траектория касается меньшей окружности в общих точках. По этим сведениям можно достаточно корректно изобразить вид траектории (см. рисунок). Другой способ изучить траекторию – записать закон движения бусинки в декартовых координатах $(x,y)$ . Удобно совместить начало координат с осью отверстия, а ось $x$ направить так, чтобы она проходила через начальное положение бусинки. Проецируя закон движения на эти оси, получим:

\begin{cases} x(t) = \frac{r_0}{3}\Big[2\cos(\omega_2t) + \cos(2\omega_2t)\Big] \\ y(t) = \frac{r_0}{3}\Big[2\sin(\omega_2t) - \sin(2\omega_2t)\Big] \end{cases}

Тогда можно построить траекторию «по точкам», выбрав несколько характерных значений $\omega_2t$ . Впрочем, и в этом случае удобно в первую очередь построить положение точек, отвечающих моментам, когда бусинка находится на максимальном и минимальном расстояниях от отверстия, то есть $\omega_2t = 0, \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{2\pi}{3}, \pi, \dfrac{4\pi}{3}, \dfrac{5\pi}{3}$ .

Оригинал в Архива: Ru24T.pdf