ВсОШ 2024, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 10.5. Электротетраэдр

• 1. 2 А
• 2. а) $I_{2\text{а}} = 2$ А; б) $I_{2\text{б}} = 2$ А
• 3. $R_1 = R_4 = 6$ Ом, $R_3 = 12$ Ом

1. Первое решение:

Для определения величины силы тока, текущего через первый источник, воспользуемся методом эквивалентного источника. Всю оставшуюся часть тетраэдра, подключённую к выводам $A$ и $B$ первого источника, можно заменить одним эквивалентным источником с внутренним сопротивлением $r_{0(1)}$ и ЭДС $\mathcal{E}_{0(1)}$. При этом эквивалентная схема для определения силы тока, текущего через первый источник, будет выглядеть так, как показано на рис. 1.

Сразу найдём сопротивление эквивалентного источника $r_{0(1)}$, подключенного к узлам $A$ и $B$. Для этого заменим второй источник идеальной перемычкой и рассчитаем сопротивление моста между узлами $A$ и $B$:

Величина силы тока $I_1$, текущего через первый источник, определяется выражением:

Пусть верхний индекс $(-)$ соответствует величине силы тока через источник при изменённой на противоположную полярности его подключения. Тогда:

Из данного выражения видно, что независимость от полярности подключения первого источника величины силы текущего через него тока возможно, если $\mathcal{E}_{0(1)} = 0$. Поймём, при каком условии это возможно. ЭДС $\mathcal{E}_{0(1)}$ эквивалентного источника равна показаниям идеального вольтметра, подключённого в цепь к узлам $A$ и $B$ вместо первого источника. Показания вольтметра будут равны нулю, если мост, составленный из резисторов с сопротивлениями $R_1$, $R_2$, $R_3$ и $R_4$ будет сбалансирован, откуда получим связь между сопротивлениями резисторов:

Таким образом, сила тока, текущего через первый источник, равна $I_1 = \mathcal{E}_1/r_{0(1)}$.

Теперь определим силу тока, текущего через второй источник, вновь используя метод эквивалентного источника. Всю оставшуюся часть тетраэдра (включая первый источник), подключённую к выводам $C$ и $D$ второго источника, заменим эквивалентным источником с внутренним сопротивлением $r_{0(2)}$ и ЭДС $\mathcal{E}_{0(2)}$. При этом эквивалентная схема для определения силы тока, текущего через второй источник, будет выглядеть так, как показано на рис. 2.

Величина силы тока $I_2$, текущего через второй источник, определяется выражением:

Обозначим силу тока, текущего через второй источник при изменённой полярности подключения первого источника, за $I'_2$. Поскольку $\mathcal{E}_{0(2)} \sim \mathcal{E}_1$, величина $I'_2$ определяется выражением:

Сразу найдём сопротивление эквивалентного источника $r_{0(2)}$, подключённого к узлам $C$ и $D$. Для этого заменим первый источник идеальной перемычкой и рассчитаем сопротивление моста между узлами $C$ и $D$:

ЭДС $\mathcal{E}_{0(2)}$ эквивалентного источника равна показаниям идеального вольтметра, подключённого в цепь к узлам $C$ и $D$ вместо второго источника. Показания вольтметра будут равны нулю, поскольку мост является сбалансированным и для подключения вольтметра вместо второго источника. Действительно:

Таким образом, величина силы тока, текущего через второй источник и равная $I_2 = \mathcal{E}_2/r_{0(2)}$, не зависит от полярности подключения первого источника, а значит:

Второе решение:

Воспользуемся методом наложения токов. Будем искать силы токов в ветвях цепи как суперпозицию сил токов, текущих в данных ветвях под действием одного источника, при условии, что другой источник в силу его идеальности заменён идеальной перемычкой.

Пусть перемычкой заменён второй источник. Обозначим силы токов, текущих через первый и второй источники при этом, за $I_{1(1)}$ и $I_{2(1)}$ соответственно (см. рис. 3). Тогда при смене полярности подключения первого источника направление тока $I_{1(1)}$, текущего через него, изменится на противоположное, а величина силы тока останется неизменной.

Теперь перемычкой заменим первый источник. Обозначим силы токов, текущих через первый и второй источники при этом, за $I_{1(2)}$ и $I_{2(2)}$ соответственно (см. рис. 4).

Если сила тока $I_{1(2)}$, текущего в перемычке под действием второго источника, не равна нулю, то сохранение величины силы полного тока через первый источник при смене его полярности невозможно. Значит, сила тока $I_{1(2)}$, текущего в перемычке $AB$ под действием второго источника, равна нулю. Это возможно, только если мост является сбалансированным. Тогда имеем следующее соотношение между сопротивлениями:

Обратим внимание, что данное условие также является условием балансировки моста, к которому подключён первый источник, когда второй заменён перемычкой $CD$. Значит, сила тока $I_{2(1)}$, текущего в перемычке $CD$ под действием первого источника, также равна нулю. Отсюда можно сделать вывод, что силы токов, текущих через первый и второй источники, определяются только величинами ЭДС соответствующих источников и полярностями их подключений. Таким образом, сила тока $I'_2$, текущего через второй источник при смене полярности подключения первого источника, равна:

Третье решение:

Расставим в исходной схеме токи с учётом закона сохранения заряда. В данной схеме есть 3 независимых тока, поэтому достаточно ввести лишь 3 силы тока $I_1$, $I_2$ и $I_3$ (см. рис. 5).

Применим второе правило Кирхгофа к контуру $CDGE$:

Применим второе правило Кирхгофа к контуру $CDHF$:

Применим второе правило Кирхгофа к контуру $ABGDH$:

Исключая $I_3$, получим следующую систему уравнений относительно $I_1$ и $I_2$:

Выразим $I_2$ из первого уравнения системы и подставим во второе:

Отсюда:

Аналогично выразим $I_1$ из первого уравнения системы и подставим во второе:

Отсюда:

Рассмотрим выражение для силы тока $I_1$. Поскольку при изменении полярности подключения первого источника величина силы тока, текущего через него, не изменяется, коэффициент при $\mathcal{E}_2$ равен нулю. Отсюда:

Обратим внимание, что в выражении для силы тока $I_2$ коэффициент перед $\mathcal{E}_1$ также равен нулю. Действительно:

Таким образом, величина силы тока $I'_2$, текущего через второй источник при смене полярности подключения первого источника, равна:

2. Первое решение:

Величины сил токов $I_{2\text{а}}$ и $I_{2\text{б}}$ в случаях ”а” и ”б” соответственно будут определяться сопротивлением моста, подключенного к выводам $C$ и $D$ второго источника:

Поскольку мост является сбалансированным, удаление перемычки $AB$ не приведёт к изменению сопротивления моста между узлами $C$ и $D$. Тогда сопротивления моста $r_{\text{а}}$ и $r_{\text{б}}$ будут одинаковыми и равными сопротивлению эквивалентного источника $r_{0(2)}$, найденному при решении первого пункта, т.е. $I_{2\text{а}} = I_{2\text{б}}$. Тогда, поскольку $I_2 = \mathcal{E}_2/r_{0(2)}$:

Второе решение:

Величины сил токов $I_{2\text{а}}$ и $I_{2\text{б}}$ в случаях ”а” и ”б” соответственно будут определяться сопротивлением моста, подключенного к выводам $C$ и $D$ второго источника:

Поскольку мост является сбалансированным, удаление перемычки $AB$ не приведёт к изменению сопротивления моста между узлами $C$ и $D$. Тогда сопротивления моста $r_{\text{а}}$ и $r_{\text{б}}$ будут одинаковыми, значит $I_{2\text{а}} = I_{2\text{б}}$. Из решения первого пункта следует:

Тогда замена первого источника перемычкой не изменит величину силу тока $I_2$, поскольку величина $I_{2(2)}$ найдена для схемы, которую предлагается рассмотреть в случае ”б” (см. рис. 4). Таким образом:

Третье решение:

Величина силы тока, текущего через источник в исходной схеме, определяется выражением:

Величины сил токов $I_{2\text{а}}$ и $I_{2\text{б}}$ в случаях ”а” и ”б” соответственно будут определяться сопротивлением моста, подключенного к выводам $C$ и $D$ второго источника:

Сопротивление $r_{\text{б}}$ определяется выражением:

откуда следует, что $I_{2\text{б}} = I_2$. Поскольку $R_1R_4 = R_2R_3$, при подключении второго источника к узлам $C$ и $D$ мост является сбалансированным при наличии перемычки $AB$. Тогда удаление перемычки $AB$ не изменит сопротивления между узлами $C$ и $D$, т.е $r_{\text{а}} = r_{\text{б}}$. Таким образом:

3. Силы токов $I_1$ и $I_2$, текущих через первый и второй источники соответственно, определяются выражениями:

Введём два обозначения:

Тогда $R_3 = \alpha kR_2$, и для сил токов $I_1$ и $I_2$, текущих через первый и второй источники соответственно, имеем:

Перемножая почленно эти равенства, получим, что

Заметим, что из условия задачи следует:

Тогда из этого соотношения и выражений для $I_1$ и $I_2$ получаем

Раскроем скобки:

Учитывая, что $\alpha k = 4$, имеем $k = \alpha = 2$. Тогда находим: