Съдържание

Условие Отговори Решение

ВсОШ 2024, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 10.4. Полёты стержня

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2024

LVII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур

Комплект задач подготовлен

Комплект задач подготовлен центральной предметно-методической комиссией Всероссийской олимпиады школьников по физике

E-mail: physolymp@gmail.com

Авторы задач

9 класс

9-T1. Ольга Инишева, Андрей Уймин
9-T2. Андрей Жигар
9-T3. Денис Рубцов
9-T4. Антон Вергунов, Андрей Уймин
9-T5. Константин Парфёнов

10 класс

10-T1. Андрей Уймин
10-T2. Антон Вергунов, Андрей Уймин
10-T3. Александр Аполонский, Андрей Уймин
10-T4. Андрей Уймин
10-T5. Александр Аполонский

11 класс

11-T1. Александр Аполонский, Константин Парфёнов
11-T2. Александр Аполонский, Андрей Уймин
11-T3. Григорий Расторгуев
11-T4. Андрей Уймин
11-T5. Андрей Уймин

Условие

В распоряжении экспериментатора Глюка были закреплённая равномерно заряженная по поверхности зарядом $Q$ непроводящая сфера радиусом $R$ и очень длинный тонкий прямолинейный непроводящий стержень массой $m$ , заряженный равномерно по длине с линейной плотностью заряда $\lambda$ . Известно, что заряды стержня и сферы были одноимёнными.

В первой серии экспериментов Глюк помещал стержень на поверхность сферы таким образом, что стержень касался поверхности сферы своей серединой.

Сначала Глюк отпустил стержень из состояния покоя, и когда расстояние между центрами сферы и стержня достигло неизвестной величины $l > R$ , стержень двигался со скоростью $u_0 = \sqrt{Q\lambda/(2\pi\varepsilon_0 m)}$ (см. рис. 1).

Сфера радиусом R; над ней горизонтальный стержень на расстоянии l от центра сферы, движущийся вверх со скоростью u0; штриховой прямоугольник показывает начальное положение стержня, касающегося сферы. — Рис. 1

Сфера радиусом R; стержень касается её сверху в момент t = 0 и имеет скорость v вверх; штриховой контур — положение стержня в момент t = τ на расстоянии S от центра сферы. — Рис. 2

Затем Глюк стал приводить стержень в движение так, что он начинал поступательное движение с различными значениями начальной скорости $v$ в направлении, перпендикулярном стержню и лежащем в плоскости, содержащей стержень и центр сферы. Глюк получил зависимость от начальной скорости $v$ стержня времени $\tau$ , прошедшего от момента старта, через которое расстояние между центрами сферы и стержня достигало неизвестной величины $S > R$ (см. рис. 2). График полученной зависимости приведён ниже на рис. 3 в координатах $y(x)$ , где $y = \tau/\tau_0$ , $x = v/v_0$ , а величины $\tau_0$ и $v_0$ определяются выражениями:

\tau_0 = R\sqrt{\frac{4\pi\varepsilon_0 m}{Q\lambda}}, \qquad v_0 = \sqrt{\frac{Q\lambda}{4\pi\varepsilon_0 m}}.

График y(x) на сетке: x от 0 до 4 (деления 0.5, 1, …, 4), y от примерно 0,23 до 1,1 (деления 0.4, 0.6, 0.8, 1); красная убывающая кривая начинается при y ≈ 1,07 при x = 0 и спадает до y ≈ 0,24 при x = 4. — Рис. 3

Для второго эксперимента Глюк проделал в поверхности сферы небольшое отверстие, поместил конец $A$ стержня внутрь сферы таким образом, что он оказался в центре сферы (см. рис. 4) и отпустил стержень без начальной скорости. Трения между стержнем и отверстием нет.

Окружность (сфера) с отверстием; конец A стержня находится в центре сферы, стержень выходит горизонтально вправо через отверстие. — Рис. 4

Во всех экспериментах стержни двигались поступательно. Силой сопротивления воздуха и гравитацией можно пренебречь. Величины $S$ и $l$ во много раз меньше длины стержня.

Для второго эксперимента определите:

1. время $T_1$ , прошедшее от момента старта, через которое конец $A$ стержня оказался на поверхности сферы, а также скорость стержня $V_1$ в этот момент времени;

2. скорость $V_2$ стержня в момент, когда его конец $A$ находился на расстоянии $l$ от центра сферы;

3. время $T$ , прошедшее от момента старта, через которое конец $A$ стержня оказался на расстоянии $S$ от центра сферы.

Отговори

Решение

Определим силу отталкивания $F_{r2}$ между сферой и стержнем во втором эксперименте в зависимости от расстояния $r_A$ между концом $A$ стержня и центром сферы.

Первый способ:

Воспользуемся методом виртуальных перемещений:

F_{r2} = -\frac{dW_p}{dr_A},

где $r_A$ – расстояние между центром сферы и концом стержня $A$ . Если расстояние между центром сферы и концом стержня $A$ изменить на величину $dr_A$ , то изменение потенциальной энергии будет равно изменению потенциальной элемента стержня длиной $dr_A$ при перемещении из положения, соответствующего концу стержня $A$ в положение, соответствующее концу стержня $B$ . Тогда для $dW_p$ имеем:

dW_p = \lambda(\varphi_B - \varphi_A)dr_A,

где $\varphi_A$ и $\varphi_B$ – потенциалы электростатического поля сферы на концах $A$ и $B$ стержня соответственно. При этом $\varphi_B \approx 0$ , поскольку стержень очень длинный. Таким образом:

F_{r2} = \lambda\varphi_A.

Поскольку сфера заряжена равномерно по поверхности, внутри неё напряжённость электростатического поля равна нулю, а снаружи совпадает с полем точечного заряда $Q$ , расположенного в её центре. Таким образом:

\varphi_A(r) = \begin{cases} \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R} & \text{при} \quad r_A \le R; \\ \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r_A} & \text{при} \quad r_A > R, \end{cases} \quad \Rightarrow F_{r2}(r_A) = \begin{cases} \dfrac{Q\lambda}{4\pi\varepsilon_0 R} & \text{при} \quad r_A \le R; \\ \dfrac{Q\lambda}{4\pi\varepsilon_0 r_A} & \text{при} \quad r_A > R. \end{cases}

Второй способ:

Напряжённость $E_r$ электростатического поля сферы внутри равна нулю, а снаружи совпадает с напряжённостью электростатического поля заряда $Q$ , расположенного в центре сферы, поэтому зависимость $E_r(r)$ имеет следующий вид:

E_r(r) = \begin{cases} 0 & \text{при} \quad r \le R; \\ \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2} & \text{при} \quad r > R. \end{cases}

Поскольку длина стержня во много раз больше радиуса сферы $R$ , то будем считать её бесконечной. Тогда для силы $F_{r2}$ имеем:

F_{r2} = \int\limits_{r_A}^{\infty} E_r(r)\lambda dr.

Если конец $A$ стержня расположен внутри сферы, то сила, действующая на расположенную внутри сферы часть стержня со стороны электростатического поля сферы, равна нулю. Отсюда:

F_{r2} = \frac{\lambda Q}{4\pi\varepsilon_0}\int\limits_{R}^{\infty}\frac{dr}{r^2} = \frac{\lambda Q}{4\pi\varepsilon_0 R}.

Если же конец $A$ стержня расположен вне сферы:

F_{r2} = \frac{\lambda Q}{4\pi\varepsilon_0}\int\limits_{r_A}^{\infty}\frac{dr}{r^2} = \frac{\lambda Q}{4\pi\varepsilon_0 r_A}.

Таким образом:

F_{r2}(r_A) = \begin{cases} \dfrac{Q\lambda}{4\pi\varepsilon_0 R} & \text{при} \quad r_A \le R; \\ \dfrac{Q\lambda}{4\pi\varepsilon_0 r_A} & \text{при} \quad r_A > R. \end{cases}

Обратим внимание, что стержень движется с постоянным ускорением $a = Q\lambda/(4\pi\varepsilon_0 mR)$ , пока его конец $A$ расположен внутри сферы. Поскольку стержень начинает движение без начальной скорости, для времени движения $T_1$ и скорости стержня $V_1$ в момент вылета из сферы имеем:

T_1 = \sqrt{\frac{2R}{a}}, \qquad V_1 = aT_1 = \sqrt{2aR},

или:

T_1 = R\sqrt{\frac{8\pi\varepsilon_0 m}{Q\lambda}}, \qquad V_1 = \sqrt{\frac{Q\lambda}{2\pi\varepsilon_0 m}}.

После вылета стержня из сферы его движение происходит в силовом поле, обратно пропорциональном расстоянию от его конца $A$ до центра сферы. Пусть $W_2(r_A)$ – потенциальная энергия взаимодействия стержня со сферой во втором эксперименте. Определим квадрат скорости стержня $V^2(r)$ при расстоянии $r_A$ между его концом $A$ и центром сферы:

\frac{mV^2(r_A)}{2} + W_2(r_A) = \frac{mV_1^2}{2} + W_2(R) \Rightarrow V^2(r_A) = V_1^2 + \frac{2(W_2(R) - W_2(r_A))}{m}.

Тогда для скорости $V_2$ имеем:

V_2 = V(l) = \sqrt{V_1^2 + \frac{2(W_2(R) - W_2(l))}{m}}.

Для определения разности $W_2(R) - W_2(l)$ рассмотрим первый эксперимент. Сила взаимодействия между сферой и стержнем равна силе взаимодействия стержня с точечным зарядом $Q$ , расположенным в центре сферы. Пусть $r_C$ – расстояние между центрами стержня и сферы. Поскольку стержень очень длинный – его поле можно вычислить как поле бесконечного стержня. Из теоремы Гаусса получим:

\Phi = 2\pi r_C LE_r(r) = \frac{q}{\varepsilon_0} = \frac{\lambda L}{\varepsilon_0} \Rightarrow E_r(r_C) = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r_C}.

Для силы взаимодействия между стержнем и сферой в первом эксперименте получим:

F_{r1}(r_C) = \frac{Q\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r_C}.

Обратим внимание, что сила взаимодействия стержня со сферой в первом эксперименте вдвое больше силы взаимодействия стержня со сферой во втором эксперименте при одинаковых значениях $r_A$ и $r_C$ . Тогда если $W_1(r_C)$ – потенциальная энергия взаимодействия стержня со сферой в первом эксперименте, имеем:

W_1(R) - W_1(l) = 2(W_2(R) - W_2(l)).

При этом из закона сохранения энергии в первом эксперименте имеем:

\frac{mu_0^2}{2} = W_1(R) - W_1(l) = 2(W_2(R) - W_2(l)) \Rightarrow \frac{2(W_2(R) - W_2(l))}{m} = \frac{u_0^2}{2}.

Таким образом:

V_2^2 = V_1^2 + \frac{u_0^2}{2},

откуда:

V_2 = \sqrt{\frac{3Q\lambda}{4\pi m\varepsilon_0}}.

Пусть $t$ – время, отсчитываемое от момента вылета стержня из сферы во втором эксперименте, через которое конец $A$ стержня оказывается на расстоянии $S$ от центра сферы. При этом возможны два решения, построенных на различных рассуждениях.

Первое решение:

Рассмотрим движение стержня во втором эксперименте после вылета из сферы. Силовые поля, в которых стержни движутся в первом и втором экспериментах, подобны друг другу и отличаются в два раза. Это означает, что если отношение квадратов начальных скоростей $v^2/V_1^2 = 2$ , то для любого $r = r_A = r_C$ соотношение $v_1^2(r)/V^2(r) = 2$ будет сохраняться, где $v_1(r)$ – скорость стержня в первом эксперименте. Действительно:

v_1^2(r) = v^2 + \frac{2(W_1(R) - W_1(r))}{m} = 2V_1^2 + \frac{4(W_2(R) - W_2(r))}{m} = 2V^2(r).

Тогда во втором эксперименте любой бесконечно малый отрезок $dr$ проходится за время $dt$ , в $\sqrt{2}$ раз большее времени $d\tau$ , за которое тот же отрезок $dr$ проходится стержнем в первом эксперименте. Таким образом:

t = \sqrt{2}\tau(\sqrt{2}V_1) = \sqrt{2}\tau_0 y(\sqrt{2}V_1/v_0).

Второе решение:

Рассмотрим движение стержня во втором эксперименте после вылета из сферы. Силовые поля, в которых стержни движутся в первом и втором экспериментах, подобны друг другу и отличаются в два раза. Обратим внимание, что график зависимости $y(x)$ , описывающий зависимость $\tau(v)$ в первом эксперименте, не изменяет свою форму при изменении параметров $Q$ , $\lambda$ , $m$ и $R$ . Если величину произведения $Q\lambda$ уменьшить в два раза, то зависимость $y(x)$ описывает зависимость времени $t$ от скорости стержня $V_1$ на поверхности сферы, где $y = t/t_0$ и $x = V_1/V_0$ , а $t_0 = \sqrt{2}\tau_0$ и $V_0 = v_0/\sqrt{2}$ . Тогда для времени $t$ имеем:

t = t_0 y(V_1/V_0) = \sqrt{2}\tau_0 y(\sqrt{2}V_1/v_0).

Определим координату $x$ на графике, приведённом для первой серии экспериментов:

x_1 = \frac{\sqrt{2}V_1}{v_0} = 2.

При этом $y(2) \approx 0.43$ . Тогда имеем:

t = Ry(2)\sqrt{\frac{8\pi\varepsilon_0 m}{Q\lambda}}.

Полное время движения стержня $T$ складывается из $T_1$ и $t$ , поэтому:

T = R(1 + y(2))\sqrt{\frac{8\pi\varepsilon_0 m}{Q\lambda}},

или же:

T \approx 7.17 \cdot R\sqrt{\frac{m\varepsilon_0}{Q\lambda}} \approx 2.02 \cdot R\sqrt{\frac{m}{kQ\lambda}}.

Оригинал в Архива: Ru24T.pdf