ВсОШ 2024, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 11.4. Рамка и провод

• $v_1 = \frac{v_0}{3}$

Пусть сторона рамки, параллельная проводу, равна $a$, а перпендикулярная ей сторона равна $b$. Введём ось $Ox$ с началом на проводе перпендикулярно ему в направлении к рамке (см. рис. 1). Далее величина $x$ везде обозначает расстояние между проводом и ближайшей к нему стороной рамки, которое изначально равнялось $x_0$. Пусть сила тока в проводе равна $I$. Тогда индукция создаваемого магнитного поля провода на расстоянии $r$ от него направлена перпендикулярно горизонтальной поверхности на читателя и равна:

где $\mu_0$ – магнитная постоянная.

Пусть $I_1$ – величина силы тока в рамке в направлении против часовой стрелки при виде сверху. Равнодействующая сил Ампера, действующих на контур, составляет:

Поскольку рамка выполнена из тонкой проволоки, а величины $a$ и $b$ во много раз меньше $x_0$, то выражение для $F_x$ можно приблизить следующим образом:

Пусть $R$ – сопротивление рамки, а $\Phi$ – поток индукции магнитного поля, пронизывающего рамку. Поскольку индуктивностью рамки можно пренебречь, для силы тока $I_1$ из закона электромагнитной индукции Фарадея находим:

Поскольку рамка выполнена из тонкой проволоки, а величины $a$ и $b$ во много раз меньше $x_0$, то индукцию магнитного поля провода можно считать постоянной по всей поверхности, натянутой на контур рамки, и равной $B(x)$, поэтому $\Phi \approx B(x)ab$. Тогда имеем:

откуда:

Рассмотрим увеличение силы тока в проводе. Поскольку это увеличение происходит очень быстро, движением рамки и её смещением за время увеличения силы в проводе до максимального значения можно пренебречь. Тогда для силы $F_x$ имеем:

Пусть $m$ и $v_x$ – масса рамки и проекция её скорости на ось $x$ соответственно. Из закона изменения импульса для рамки имеем:

Умножим закон изменения импульса для рамки на $dt$:

Проинтегрируем полученное выражение, обозначив за $I_0$ максимальную величину силы тока в проводе:

Отметим, что рамка начинает удаляться от провода после достижения в нём максимального значения силы тока.

Проанализируем дальнейшее движение рамки. Для этого получим выражение для силы $F_x$ при постоянном значении силы тока в проводе $I = I_0$:

Запишем закон изменения импульса для рамки:

Умножим закон изменения импульса для рамки на $dt$:

Проинтегрируем полученное выражение в предположении, что рамка удаляется бесконечно далеко от провода, обозначив за $v_{1x}$ проекцию скорости рамки на ось $x$ на бесконечном удалении от провода. Поскольку скорость рамки уменьшается, предположение окажется оправданным в том случае, если величина $v_{1x}$ окажется положительной. Имеем:

Отсюда:

Поскольку $v_{1x} > 0$, рамка в процессе движения после достижения силой тока в проводе максимального значения никогда не останавливалась, а значит, полученное значение является ответом на вопрос задачи. Если бы величина $v_{1x}$ оказалась отрицательной, то скорость рамки и расстояние между рамкой и проводом асимптотически стремились бы к нулю и к постоянному знаю соответственно. Таким образом: