ВсОШ 2024, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 11.5. Неоднородность в призме

• 1. $y^2 + (x - 2h)^2 = (2h - x_0)^2$

  Дуга окружности радиуса $2h - x_0$ с центром в точке $x_P = 2h$, $y_P = 0$.

• 2. $\alpha \leq 45^{\circ}$

• 3. $\alpha \leq \frac{1}{2}\arcsin\frac{1}{3} \approx 9.74^{\circ}$

1. Поскольку пучок света направлен по нормали к грани призмы, на которую он падает, на входе в призму пучок не преломляется. Исследуем траектории лучей внутри призмы. Пусть $\varphi$ – угол между направлением распространения луча и осью $y$, а $x_0$ – координата точки входа луча в призму. При этом угол падения на границу раздела сред равен $90 - \varphi$, поэтому из закона Снелла следует:

Первое решение:

Обратим внимание на соотношение:

Проведём через некоторую точку $T$ траектории луча линию, перпендикулярную направлению его распространения до точки $P$ такой, что $x_P = 2h$. Обратим внимание, что расстояние между точками $P$ и $T$ является постоянной величиной, равной $2h - x_0$. Поскольку свет распространяется в направлении, перпендикулярном $PT$, а $PT = 2h - x_0 = const$ и $x_P = 2h = const$ – положение точки $P$ является постоянным, поскольку её смещение должно быть одновременно перпендикулярно $PT$ и оси $x$, что невозможно. Значит, траектория луча света до попадания на стороны $AB$ и $OB$ сечения призмы представляет собой окружность с центром в точке $P$. Обратим внимание, что сразу после преломления все лучи света распространяются вдоль оси $y$, а значит для каждого луча центр окружности лежит в точке $P$ такой, что $x_P = 2h$ и $y_P = 0$. Окончательно:

Второе решение:

Продифференцируем выражение, полученное из закона Снелла:

Изменения координат $dx$ и $dy$ можно связать с помощью угла $\varphi$:

Найдём изменение $dy$ координаты $y$ при изменении угла $\varphi$ на величину $d\varphi$:

Величине $y = 0$ соответствует $\varphi = 0$. Тогда получим:

Теперь получим выражение, связывающее $y$ и $x$:

откуда:

Третье решение:

Получим зависимость $y(x)$ для траектории луча света. Для этого избавимся от угла $\varphi$:

Поскольку $\varphi > 0$:

Учитывая, что $2h > x$, получим:

Отсюда:

Четвёртое решение:

Для радиуса кривизны $\rho$ траектории луча имеем:

где $dl$ – элемент пути, пройденного лучом. Но $dl = dx/\sin\varphi$, откуда:

Продифференцируем выражение, полученное из закона Снелла:

Таким образом, радиус кривизны траектории каждого луча остаётся постоянным, т.е траектория луча света до попадания на стороны $AB$ и $OB$ сечения призмы представляет собой дугу окружность радиусом $2h - x_0$. Обратим внимание, что сразу после преломления все лучи света распространяются вдоль оси $y$, а значит для каждого луча центр окружности лежит в точке $P$ такой, что $x_P = 2h - x_0 + x_0 = 2h$ и $y_P = 0$. Окончательно:

2. Из решения первого пункта следует, что траектория любого луча внутри призмы до попадания на $AB$ и $OB$ сечения призмы являются дугами окружностей, лежащими в плоскости рисунка, а центры этих окружности расположены в точке $P$ такой, что $x_P = 2h$, а $y_P = 0$. Обратим внимание, что радиус окружности уменьшается с увеличением координаты $x_0$. Расстояние от точки $P$ до точки пересечения дуги окружности с $OB$ уменьшается вплоть до момента, пока дуга окружности не коснётся рассматриваемой грани. При дальнейшем увеличении координаты $x_0$ дуги окружности не будут пересекать $OB$. Таким образом, лучи достигнут всех точек $OB$ при условии отсутствия точек касания с дугами окружностей, а значит угол $\angle PBO$ не должен быть острым. Поскольку треугольник $OPB$ является равнобедренным, имеем:

откуда:

3. Обратим внимание, что при увеличении координаты $x_0$ угол падения лучей на $OB$ будет увеличиваться, как и показатель преломления вещества призмы. Тогда условие, при котором все лучи, достигнувшие $OB$, попадают в воздух состоит в том, что лучи, достигнувшие её вблизи точки $B$, не испытают полного отражения. Поскольку исходно такие лучи падают под углом $\alpha$ к $OB$ и поворачивают на угол $\alpha$ при движении по дуге окружности – угол падения луча в момент достижения $OB$ равен $2\alpha$. Тогда имеем:

откуда: